题目
一、单选题（共25题，100.0分）题型说明：选择题15.（单选题，4.0分）设f(x)=xcot2x(xneq0)，要使f(x)在x=0点连续，则f(0)=（）.A 1B -1C (1)/(2)D -(1)/(2)
一、单选题（共25题，100.0分）
题型说明：选择题
15.（单选题，4.0分）
设$f(x)=xcot2x(x\neq0)$，要使f(x)在x=0点连续，则f(0)=（）.
A 1
B -1
C $\frac{1}{2}$
D $-\frac{1}{2}$
题目解答
答案
要使函数 $ f(x) = x \cot 2x $（$ x \neq 0 $）在 $ x = 0 $ 点连续，需满足 $ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) $。
首先，计算极限：
\[
\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x \cot 2x = \lim_{x \to 0} \frac{x \cos 2x}{\sin 2x}
\]
利用等价无穷小替换 $ \sin 2x \sim 2x $（当 $ x \to 0 $ 时），得：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x \cos 2x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cos 2x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x}{2} = \frac{1}{2}
\]
因此，为保证连续性，应令 $ f(0) = \frac{1}{2} $。
答案：C. $\frac{1}{2}$
解析
本题考查函数连续性的知识点以及极限的计算方法。解题的关键思路是根据函数在某点连续的定义，即函数在该点的极限值等于该点的函数值。所以我们需要先求出函数$f(x)=x\cot2x(x\neq0)$在$x\to0$时的极限，然后令$f(0)$等于这个极限值，即可得到$f(0)$的值。
- 首先，根据三角函数关系$\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$，将$f(x)=x\cot2x$进行变形：
- $f(x)=x\cot2x = \frac{x\cos2x}{\sin2x}$。
- 然后，求$\lim_{x \to 0} f(x)$，即$\lim_{x \to 0} \frac{x\cos2x}{\sin2x}$：
- 当$x\to0$时，$\sin2x$与$2x$是等价无穷小，即$\sin2x\sim2x$。
- 利用等价无穷小替换，将$\sin2x$替换为$2x$，得到$\lim_{x \to 0} \frac{x\cos2x}{\sin2x}=\lim_{x \to 0} \frac{x\cos2x}{2x}$。
- 对$\lim_{x \to 0} \frac{x\cos2x}{2x}$进行化简，约去分子分母的$x$，得到$\lim_{x \to 0} \frac{\cos2x}{2}$。
- 最后，计算$\lim_{x \to 0} \frac{\cos2x}{2}$的值：
- 根据极限的运算法则，$\lim_{x \to 0} \frac{\cos2x}{2}=\frac{\lim_{x \to 0} \cos2x}{2}$。
- 因为$\cos2x$在$x = 0$处连续，所以$\lim_{x \to 0} \cos2x=\cos(2\times0)=\cos0 = 1$。
- 则$\frac{\lim_{x \to 0} \cos2x}{2}=\frac{1}{2}$。
- 由于函数$f(x)$在$x = 0$点连续，所以$f(0)=\lim_{x \to 0} f(x)=\frac{1}{2}$。