题目
3、设函数 f(x)= { ^-x,xgt 0 x, xleqslant 0 . 则f(x)在 x=0 处 ()-|||-(A)可导 (B)右导数存在而左导数不存在-|||-(C)左导数存在而右导数不存在 (D)连续但不可导
题目解答
答案
解析
步骤 1：判断函数在 x=0 处的连续性
函数在 x=0 处的左极限为 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x = 0$，右极限为 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^3e^{-x} = 0$，且 $f(0) = 0$，因此函数在 x=0 处连续。
步骤 2：判断函数在 x=0 处的左导数
函数在 x=0 处的左导数为 $\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x - 0}{x - 0} = 1$，因此左导数存在。
步骤 3：判断函数在 x=0 处的右导数
函数在 x=0 处的右导数为 $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^3e^{-x} - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} x^2e^{-x} = 0$，因此右导数存在。
步骤 4：判断函数在 x=0 处的可导性
由于函数在 x=0 处的左导数和右导数不相等，因此函数在 x=0 处不可导。
函数在 x=0 处的左极限为 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x = 0$，右极限为 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^3e^{-x} = 0$，且 $f(0) = 0$，因此函数在 x=0 处连续。
步骤 2：判断函数在 x=0 处的左导数
函数在 x=0 处的左导数为 $\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x - 0}{x - 0} = 1$，因此左导数存在。
步骤 3：判断函数在 x=0 处的右导数
函数在 x=0 处的右导数为 $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^3e^{-x} - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} x^2e^{-x} = 0$，因此右导数存在。
步骤 4：判断函数在 x=0 处的可导性
由于函数在 x=0 处的左导数和右导数不相等，因此函数在 x=0 处不可导。