5.[单选题]5.设随机变量X服从参数为2的指数分布，则E(X)=()A. 2B. 4C. (1)/(2)D. (1)/(4)

本题考查指数分布的期望公式。解题思路是先明确指数分布的概率密度函数和期望的定义，再根据指数分布的性质推导出期望公式，最后将题目中给定的参数代入公式计算出随机变量$X$的期望。

步骤一：明确指数分布的概率密度函数

若随机变量$X$服从参数为$\lambda$的指数分布，其概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}, & x\geq0 \\ 0, & x\lt0\end{cases}$，其中$\lambda\gt0$。

步骤二：根据期望的定义计算$E(X)$

期望$E(X)$的定义为$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$。
对于指数分布，由于$x\lt0$时$f(x)=0$，所以$E(X)=\int_{0}^{+\infty}x\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx$。

步骤三：利用分部积分法计算积分

设$u = x$，$dv = \lambda e^{-\lambda x}dx$。
对$u$求导得$du = dx$，对$dv$积分得$v = -e^{-\lambda x}$。
根据分部积分公式$\int_{a}^{b}u dv = uv|_{a}^{b} - \int_{a}^{b}v du$，可得：
$\begin{align*}E(X)&=\int_{0}^{+\infty}x\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx\\&=\left[-xe^{-\lambda x}\right]_{0}^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty}e^{-\lambda x}dx\end{align*}$

步骤四：计算$\left[-xe^{-\lambda x}\right]_{0}^{+\infty}$

$\lim\limits_{x\to +\infty}-xe^{-\lambda x}=\lim\limits_{x\to +\infty}-\frac{x}{e^{\lambda x}}$，使用洛必达法则，对分子分母分别求导，可得$\lim\limits_{x\to +\infty}-\frac{1}{\lambda e^{\lambda x}} = 0$；当$x = 0$时，$-xe^{-\lambda x}=0$。
所以$\left[-xe^{-\lambda x}\right]_{0}^{+\infty}=0 - 0 = 0$。

步骤五：计算$\int_{0}^{+\infty}e^{-\lambda x}dx$

$\int_{0}^{+\infty}e^{-\lambda x}dx = \left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{+\infty}=-\frac{1}{\lambda}(0 - 1)=\frac{1}{\lambda}$。

步骤六：得出指数分布的期望公式

由上述计算可知$E(X)=\frac{1}{\lambda}$。

步骤七：代入参数计算$E(X)$

已知随机变量$X$服从参数为$2$的指数分布，即$\lambda = 2$，将$\lambda = 2$代入$E(X)=\frac{1}{\lambda}$，可得$E(X)=\frac{1}{2}$。