【题目】证明方程 x^5-5x+1=0 有且仅有一个小于1的正实根

考查要点：本题主要考查利用连续函数的介值定理证明方程根的存在性，以及通过导数判断函数单调性证明根的唯一性。

解题核心思路：

1. 构造函数：将方程转化为函数形式，分析其在区间端点的函数值符号。
2. 存在性证明：利用介值定理，结合函数在区间端点的异号，说明至少存在一个零点。
3. 唯一性证明：通过求导分析函数单调性，若函数在区间内严格单调，则零点唯一。

破题关键点：

• 导数的计算与符号判断：确定函数在区间内的单调性。
• 端点函数值的计算：验证介值定理的应用条件。

构造函数：设 $f(x) = x^5 - 5x + 1$，需证明 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有且仅有一个零点。

存在性证明

1. 计算端点函数值：
   • $f(0) = 0^5 - 5 \cdot 0 + 1 = 1 > 0$，
   • $f(1) = 1^5 - 5 \cdot 1 + 1 = -3 < 0$。
2. 应用介值定理：
   函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，且 $f(0) > 0$，$f(1) < 0$，因此存在 $c \in (0,1)$，使得 $f(c) = 0$。

唯一性证明

1. 求导数：
   $f'(x) = 5x^4 - 5 = 5(x^4 - 1)$。
2. 分析导数符号：
   当 $0 < x < 1$ 时，$x^4 < 1$，故 $x^4 - 1 < 0$，因此 $f'(x) = 5(x^4 - 1) < 0$。
3. 判断单调性：
   $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上严格递减。
4. 唯一性结论：
   若存在两个不同的零点 $x_1, x_2 \in (0,1)$，则由严格递减性，必有 $f(x_1) > f(x_2)$，矛盾。因此零点唯一。