题目
81.讨论函数f(x)=}(sqrt(1+x^2)-1)/(x),x<01,x=02arctan(2)/(x),x>0，在点x=0处的连续性.
81.讨论函数$f(x)=\begin{cases}\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x},x<0\\1,x=0\\2arctan\frac{2}{x},x>0\end{cases}$，在点x=0处的连续性.
题目解答
答案
要判断函数 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处的连续性，需满足 $ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) $。
1. **左极限**：当 $ x \to 0^- $ 时，$ f(x) = \frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{x} $。
\[
\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2 / (1 + \sqrt{1+x^2})}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{1 + \sqrt{1+x^2}} = 0
\]
2. **右极限**：当 $ x \to 0^+ $ 时，$ f(x) = 2 \arctan \frac{2}{x} $。
\[
\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 2 \arctan \frac{2}{x} = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi
\]
3. **函数值**：$ f(0) = 1 $。
显然，$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 $，$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \pi $，且 $ f(0) = 1 $。由于左右极限不相等，且均不等于 $ f(0) $，故函数在 $ x = 0 $ 处不连续。
**结论**：函数在 $ x = 0 $ 处不连续。
解析
考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的连续性判断，需要计算左右极限并与函数值比较。
解题核心思路：
- 分段函数的连续性：函数在某点连续需满足左极限、右极限存在且相等，并等于该点的函数值。
- 左极限计算：当$x \to 0^-$时，函数表达式为$\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}$，需通过有理化或泰勒展开化简求极限。
- 右极限计算：当$x \to 0^+$时，函数表达式为$2\arctan\frac{2}{x}$，需利用反三角函数的极限性质。
- 函数值比较：直接比较$f(0)=1$与左右极限的结果。
破题关键点：
- 有理化处理：对左极限的分子进行有理化，简化表达式。
- 反三角函数极限：掌握$\arctan t$当$t \to +\infty$时的极限值为$\frac{\pi}{2}$。
左极限计算（$x \to 0^-$）
函数表达式为：
$f(x) = \frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{x}$
有理化分子：
$\begin{aligned}\lim_{x \to 0^-} f(x) &= \lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{x} \\&= \lim_{x \to 0^-} \frac{(\sqrt{1+x^2} - 1)(\sqrt{1+x^2} + 1)}{x(\sqrt{1+x^2} + 1)} \\&= \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2}{x(\sqrt{1+x^2} + 1)} \\&= \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{\sqrt{1+x^2} + 1} \\&= \frac{0}{1 + 1} = 0\end{aligned}$
右极限计算（$x \to 0^+$）
函数表达式为：
$f(x) = 2\arctan\frac{2}{x}$
利用反三角函数极限：
$\begin{aligned}\lim_{x \to 0^+} f(x) &= \lim_{x \to 0^+} 2\arctan\frac{2}{x} \\&= 2 \cdot \arctan(+\infty) \\&= 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi\end{aligned}$
函数值比较
$f(0) = 1$
结论：左极限为$0$，右极限为$\pi$，函数值为$1$，三者不相等，故函数在$x=0$处不连续。