题目
函数 y=(3^x)/(3^x)+1 的反函数 y=(）。 A. log_(3)((x)/(1+x));B. log_(3)((x)/(1-x));C. log_(3)((x)/(x-1));D. log_(3)((1-x)/(x)).
函数 $y=\frac{3^{x}}{3^{x}+1}$ 的反函数 $y=$(）。
- A. $\log_{3}(\frac{x}{1+x})$;
- B. $\log_{3}(\frac{x}{1-x})$;
- C. $\log_{3}(\frac{x}{x-1})$;
- D. $\log_{3}(\frac{1-x}{x})$.
题目解答
答案
为了找到函数 $ y = \frac{3^x}{3^x + 1} $ 的反函数，我们需要将 $ x $ 表达为 $ y $ 的函数，然后将 $ x $ 替换为 $ y $，将 $ y $ 替换为 $ x $。
从给定的函数开始：
\[ y = \frac{3^x}{3^x + 1} \]
首先，我们通过两边同时乘以 $ 3^x + 1 $ 来消除分母：
\[ y(3^x + 1) = 3^x \]
接下来，我们在左边分配 $ y $：
\[ y \cdot 3^x + y = 3^x \]
现在，我们将所有包含 $ 3^x $ 的项移到一边：
\[ y \cdot 3^x - 3^x = -y \]
在左边提取 $ 3^x $：
\[ 3^x(y - 1) = -y \]
为了解出 $ 3^x $，两边同时除以 $ y - 1 $：
\[ 3^x = \frac{-y}{y - 1} \]
简化右边，通过将分子和分母都乘以 $-1$：
\[ 3^x = \frac{y}{1 - y} \]
现在，为了隔离 $ x $，对两边取以3为底的对数：
\[ x = \log_3 \left( \frac{y}{1 - y} \right) \]
由于我们正在寻找反函数，我们将 $ x $ 替换为 $ y $，将 $ y $ 替换为 $ x $：
\[ y = \log_3 \left( \frac{x}{1 - x} \right) \]
因此，函数 $ y = \frac{3^x}{3^x + 1} $ 的反函数是：
\[ \boxed{B} \]
解析
考查要点：本题主要考查反函数的求解方法，涉及指数函数与对数函数的转换，以及代数方程的变形能力。
解题核心思路：
- 交换变量法：将原函数表达式中的$x$和$y$互换，解方程得到新的$y$表达式。
- 关键步骤：通过代数变形将方程转化为以$3^x$为整体的形式，再取对数求解$x$。
- 验证技巧：通过代入特殊值验证选项的正确性，避免计算错误。
破题关键点：
- 消去分母：通过两边同乘分母简化方程。
- 提取公因式：将含$3^x$的项合并，分离出$3^x$的表达式。
- 对数转换：利用对数与指数的互逆关系，将指数方程转化为对数形式。
原函数：$y = \frac{3^x}{3^x + 1}$
步骤1：消去分母
两边同乘$3^x + 1$，得：
$y(3^x + 1) = 3^x$
步骤2：展开并移项
展开左边并整理含$3^x$的项：
$y \cdot 3^x + y = 3^x \implies y \cdot 3^x - 3^x = -y$
步骤3：提取公因式
提取$3^x$，得：
$3^x(y - 1) = -y$
步骤4：解出$3^x$
两边同除以$(y - 1)$，化简得：
$3^x = \frac{-y}{y - 1} = \frac{y}{1 - y}$
步骤5：取对数
对两边取以3为底的对数：
$x = \log_3 \left( \frac{y}{1 - y} \right)$
步骤6：交换变量
将$x$与$y$互换，得到反函数：
$y = \log_3 \left( \frac{x}{1 - x} \right)$
验证选项：
- 选项B：$\log_3 \left( \frac{x}{1 - x} \right)$，与推导结果一致。