题目
设n阶方阵A满足等式 ^2=E, 求A的特征值.
题目解答
答案
1
-1
解析
步骤 1：特征值的定义
特征值是方阵A的特征方程 $det(A - \lambda E) = 0$ 的根，其中 $\lambda$ 是特征值，E是单位矩阵。
步骤 2：利用已知条件
已知 ${A}^{2}=E$，即 $A^2 - E = 0$，可以写成 $A^2 - I = 0$，其中I是单位矩阵。
步骤 3：特征值的求解
设 $\lambda$ 是A的特征值，那么存在非零向量x，使得 $Ax = \lambda x$。将这个等式两边同时乘以A，得到 $A^2x = A(\lambda x) = \lambda Ax = \lambda^2 x$。由于 $A^2 = E$，所以有 $Ex = x = \lambda^2 x$。因此，$\lambda^2 = 1$，解得 $\lambda = 1$ 或 $\lambda = -1$。
特征值是方阵A的特征方程 $det(A - \lambda E) = 0$ 的根，其中 $\lambda$ 是特征值，E是单位矩阵。
步骤 2：利用已知条件
已知 ${A}^{2}=E$，即 $A^2 - E = 0$，可以写成 $A^2 - I = 0$，其中I是单位矩阵。
步骤 3：特征值的求解
设 $\lambda$ 是A的特征值，那么存在非零向量x，使得 $Ax = \lambda x$。将这个等式两边同时乘以A，得到 $A^2x = A(\lambda x) = \lambda Ax = \lambda^2 x$。由于 $A^2 = E$，所以有 $Ex = x = \lambda^2 x$。因此，$\lambda^2 = 1$，解得 $\lambda = 1$ 或 $\lambda = -1$。