题目

求函数(x)=lim _(tarrow +infty )dfrac (x+{e)^tx}(1+x{e)^tx}的分段表达式

求函数 $f(x)=\lim_{t\to+\infty}\frac{x+e^{tx}}{1+xe^{tx}}$ 的分段表达式

题目解答

答案

解：

①当x=0时， $e^{tx}=1$ , $f\left(x\right)=\frac{1+x}{1+x}=1$

②当x>0时， $e^{tx}\rightarrow\infty,\frac{1}{e^{tx}}\rightarrow0$

$f(x)=\lim_{t\to+\infty}\frac{x+e^{tx}}{1+xe^{tx}}=\lim_{t\to+\infty}\frac{\frac{x}{e^{tx}}+1}{\frac{1}{e^{tx}}+x}=\frac{1}{1+x}$

③当x<0时， $e^{tx}\rightarrow0$ , $f(x)=\lim_{t\to+\infty}\frac{x+e^{tx}}{1+xe^{tx}}=\frac{x}{1}=x$

综上， $f\left(x\right)=\begin{cases} \frac{1}{x},x>0 \newline 1,x=0 \newline x,x<0 \end{cases}$

解析

步骤 1：分析x=0的情况
当x=0时，${e}^{tx}={e}^{0}=1$，因此$f(x)=\dfrac {0+1}{1+0}=1$。
步骤 2：分析x>0的情况
当x>0时，${e}^{tx}$随着t趋向于正无穷大而趋向于正无穷大，因此$\dfrac {1}{{e}^{tx}}$趋向于0。所以$f(x)=\lim _{t\rightarrow +\infty }\dfrac {x+{e}^{tx}}{1+x{e}^{tx}}=\lim _{t\rightarrow +\infty }\dfrac {\dfrac {x}{{e}^{tx}}+1}{\dfrac {1}{{e}^{tx}}+x}=\dfrac {0+1}{0+x}=\dfrac {1}{1+x}$。
步骤 3：分析x<0的情况
当x<0时，${e}^{tx}$随着t趋向于正无穷大而趋向于0，因此$f(x)=\lim _{t\rightarrow +\infty }\dfrac {x+{e}^{tx}}{1+x{e}^{tx}}=\dfrac {x+0}{1+0}=x$。