题目
)int dfrac (dx)(sqrt {x)+sqrt [4](x)}
题目解答
答案
解析
步骤 1：换元
令 $\sqrt{x} = t$，则 $x = t^4$，$dx = 4t^3 dt$。
步骤 2：代入
将换元后的表达式代入原积分中，得到 $\int \dfrac{4t^3 dt}{t + t^{1/2}}$。
步骤 3：化简
化简得到 $\int \dfrac{4t^3 dt}{t + t^{1/2}} = \int \dfrac{4t^3 dt}{t(1 + t^{-1/2})} = \int \dfrac{4t^2 dt}{1 + t^{-1/2}}$。
步骤 4：进一步化简
将分母中的 $t^{-1/2}$ 用 $u$ 替换，得到 $\int \dfrac{4t^2 dt}{1 + t^{-1/2}} = \int \dfrac{4t^2 dt}{1 + u}$，其中 $u = t^{-1/2}$。
步骤 5：再次换元
令 $u = t^{-1/2}$，则 $t = u^{-2}$，$dt = -2u^{-3} du$。
步骤 6：代入
将换元后的表达式代入积分中，得到 $\int \dfrac{4t^2 dt}{1 + u} = \int \dfrac{4u^{-4} (-2u^{-3} du)}{1 + u} = -8 \int \dfrac{u^{-7} du}{1 + u}$。
步骤 7：分部积分
将 $-8 \int \dfrac{u^{-7} du}{1 + u}$ 分解为 $-8 \int \dfrac{u^{-7} du}{1 + u} = -8 \int \dfrac{u^{-7} + u^{-8} - u^{-8}}{1 + u} du = -8 \int \dfrac{u^{-7} + u^{-8}}{1 + u} du + 8 \int \dfrac{u^{-8}}{1 + u} du$。
步骤 8：化简
化简得到 $-8 \int \dfrac{u^{-7} + u^{-8}}{1 + u} du + 8 \int \dfrac{u^{-8}}{1 + u} du = -8 \int u^{-7} du - 8 \int u^{-8} du + 8 \int \dfrac{u^{-8}}{1 + u} du$。
步骤 9：计算积分
计算得到 $-8 \int u^{-7} du - 8 \int u^{-8} du + 8 \int \dfrac{u^{-8}}{1 + u} du = -8 \cdot \dfrac{u^{-6}}{-6} - 8 \cdot \dfrac{u^{-7}}{-7} + 8 \ln |1 + u| + C$。
步骤 10：回代
将 $u = t^{-1/2}$ 回代，得到 $-8 \cdot \dfrac{u^{-6}}{-6} - 8 \cdot \dfrac{u^{-7}}{-7} + 8 \ln |1 + u| + C = \dfrac{4}{3} t^3 + \dfrac{8}{7} t^7 + 8 \ln |1 + t^{-1/2}| + C$。
步骤 11：回代
将 $t = \sqrt{x}$ 回代，得到 $\dfrac{4}{3} t^3 + \dfrac{8}{7} t^7 + 8 \ln |1 + t^{-1/2}| + C = \dfrac{4}{3} x^{3/2} + \dfrac{8}{7} x^{7/2} + 8 \ln |\sqrt{x} + 1| + C$。
令 $\sqrt{x} = t$，则 $x = t^4$，$dx = 4t^3 dt$。
步骤 2：代入
将换元后的表达式代入原积分中，得到 $\int \dfrac{4t^3 dt}{t + t^{1/2}}$。
步骤 3：化简
化简得到 $\int \dfrac{4t^3 dt}{t + t^{1/2}} = \int \dfrac{4t^3 dt}{t(1 + t^{-1/2})} = \int \dfrac{4t^2 dt}{1 + t^{-1/2}}$。
步骤 4：进一步化简
将分母中的 $t^{-1/2}$ 用 $u$ 替换，得到 $\int \dfrac{4t^2 dt}{1 + t^{-1/2}} = \int \dfrac{4t^2 dt}{1 + u}$，其中 $u = t^{-1/2}$。
步骤 5：再次换元
令 $u = t^{-1/2}$，则 $t = u^{-2}$，$dt = -2u^{-3} du$。
步骤 6：代入
将换元后的表达式代入积分中，得到 $\int \dfrac{4t^2 dt}{1 + u} = \int \dfrac{4u^{-4} (-2u^{-3} du)}{1 + u} = -8 \int \dfrac{u^{-7} du}{1 + u}$。
步骤 7：分部积分
将 $-8 \int \dfrac{u^{-7} du}{1 + u}$ 分解为 $-8 \int \dfrac{u^{-7} du}{1 + u} = -8 \int \dfrac{u^{-7} + u^{-8} - u^{-8}}{1 + u} du = -8 \int \dfrac{u^{-7} + u^{-8}}{1 + u} du + 8 \int \dfrac{u^{-8}}{1 + u} du$。
步骤 8：化简
化简得到 $-8 \int \dfrac{u^{-7} + u^{-8}}{1 + u} du + 8 \int \dfrac{u^{-8}}{1 + u} du = -8 \int u^{-7} du - 8 \int u^{-8} du + 8 \int \dfrac{u^{-8}}{1 + u} du$。
步骤 9：计算积分
计算得到 $-8 \int u^{-7} du - 8 \int u^{-8} du + 8 \int \dfrac{u^{-8}}{1 + u} du = -8 \cdot \dfrac{u^{-6}}{-6} - 8 \cdot \dfrac{u^{-7}}{-7} + 8 \ln |1 + u| + C$。
步骤 10：回代
将 $u = t^{-1/2}$ 回代，得到 $-8 \cdot \dfrac{u^{-6}}{-6} - 8 \cdot \dfrac{u^{-7}}{-7} + 8 \ln |1 + u| + C = \dfrac{4}{3} t^3 + \dfrac{8}{7} t^7 + 8 \ln |1 + t^{-1/2}| + C$。
步骤 11：回代
将 $t = \sqrt{x}$ 回代，得到 $\dfrac{4}{3} t^3 + \dfrac{8}{7} t^7 + 8 \ln |1 + t^{-1/2}| + C = \dfrac{4}{3} x^{3/2} + \dfrac{8}{7} x^{7/2} + 8 \ln |\sqrt{x} + 1| + C$。