曲线 y=4x^2, z=x^3 在点 (1,4,1) 处的切线方程是()。A. (x-1)/(1)=(y-4)/(8)=(z-1)/(3)B. (x-1)/(1)=(y-4)/(4)=(z-1)/(1)C. (x-1)/(8)=(y-4)/(3)=(z-1)/(1)D. (x-1)/(8)=(y-4)/(1)=(z-1)/(3)

步骤 1：求导
对给定的曲线方程 $y=4x^2$ 和 $z=x^3$，分别求导得到它们关于 $x$ 的导数。
\[ \frac{dy}{dx} = 8x, \quad \frac{dz}{dx} = 3x^2 \]

步骤 2：代入点 $(1,4,1)$
将点 $(1,4,1)$ 的 $x$ 值代入导数表达式中，得到该点处的导数值。
\[ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = 8, \quad \left. \frac{dz}{dx} \right|_{x=1} = 3 \]

步骤 3：确定切线方向向量
根据导数的值，可以确定切线的方向向量为 $(1, 8, 3)$，其中 $1$ 是 $x$ 方向的增量，$8$ 是 $y$ 方向的增量，$3$ 是 $z$ 方向的增量。

步骤 4：写出切线方程
利用点向式方程，将点 $(1,4,1)$ 和方向向量 $(1, 8, 3)$ 代入，得到切线方程。
\[ \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 4}{8} = \frac{z - 1}{3} \]