【题目】-|||-计算下列极限:-|||-lim _(xarrow 0)((1+3{tan )^2x)}^(cot ^2x) .

考查要点：本题主要考查利用重要极限公式求解复杂指数函数的极限，需要灵活进行变量替换和代数变形。

解题核心思路：
将原式转化为形如 $\lim_{u \rightarrow 0} (1 + ku)^{\frac{1}{u}} = e^k$ 的标准形式。关键在于识别底数和指数的结构关系，通过变量替换简化表达式。

破题关键点：

1. 变量替换：令 $u = 3\tan^2 x$，将原式中的底数和指数用 $u$ 表示。
2. 指数变形：利用 $\cot^2 x = \frac{1}{\tan^2 x}$，将指数转化为与 $u$ 相关的表达式。
3. 应用重要极限：通过变形后的表达式直接应用重要极限公式。

步骤1：变量替换
令 $u = 3\tan^2 x$，当 $x \rightarrow 0$ 时，$\tan x \rightarrow 0$，因此 $u \rightarrow 0$。

步骤2：指数变形
原式的指数为 $\cot^2 x = \frac{1}{\tan^2 x} = \frac{3}{u}$（因为 $u = 3\tan^2 x$，所以 $\tan^2 x = \frac{u}{3}$）。

步骤3：改写原式
原式变为：
$\lim_{u \rightarrow 0} (1 + u)^{\frac{3}{u}} = \lim_{u \rightarrow 0} \left[(1 + u)^{\frac{1}{u}}\right]^3$

步骤4：应用重要极限
根据重要极限公式 $\lim_{u \rightarrow 0} (1 + u)^{\frac{1}{u}} = e$，得：
$\left[\lim_{u \rightarrow 0} (1 + u)^{\frac{1}{u}}\right]^3 = e^3$