若矩阵A、B、C满足 =BC, 则 () 。-|||-A. (A)=R(B); B. (A)=R(C);-|||-C. (A)leqslant R(B) ; D. (A)geqslant max R(B),R(C)

考查要点：本题主要考查矩阵乘积的秩的性质，即两个矩阵相乘后秩的变化规律。

解题核心思路：
矩阵乘积的秩满足 $R(BC) \leqslant \min\{R(B), R(C)\}$，即乘积的秩不超过任一因子的秩。因此，若 $A = BC$，则 $R(A)$ 必然小于等于 $R(B)$ 和 $R(C)$ 中的较小值。通过分析各选项与该性质的关系，即可得出正确答案。

破题关键点：

• 选项C（$R(A) \leqslant R(B)$）必然成立，因为 $R(A) \leqslant \min\{R(B), R(C)\} \leqslant R(B)$。
• 选项D（$R(A) \geqslant \max\{R(B), R(C)\}$）显然不成立，因为乘积的秩不可能超过任一因子的秩。
• 选项A、B（$R(A) = R(B)$ 或 $R(A) = R(C)$）不一定成立，因为乘积的秩可能小于任一因子的秩。

根据矩阵乘积的秩的性质：
$R(BC) \leqslant \min\{R(B), R(C)\}$
因此，若 $A = BC$，则：
$R(A) \leqslant \min\{R(B), R(C)\}$

选项分析：

1. 选项A（$R(A) = R(B)$）：

   • 若 $R(B) > R(C)$，则 $R(A) \leqslant R(C) < R(B)$，此时 $R(A) \neq R(B)$，故选项A错误。

2. 选项B（$R(A) = R(C)$）：

   • 若 $R(C) > R(B)$，则 $R(A) \leqslant R(B) < R(C)$，此时 $R(A) \neq R(C)$，故选项B错误。

3. 选项C（$R(A) \leqslant R(B)$）：

   • 由 $R(A) \leqslant \min\{R(B), R(C)\} \leqslant R(B)$，显然成立，故选项C正确。

4. 选项D（$R(A) \geqslant \max\{R(B), R(C)\}$）：

   • 乘积的秩不可能超过任一因子的秩，故 $R(A) \leqslant \max\{R(B), R(C)\}$，选项D错误。