9.二重积分iintlimits_(D)dxdy=____，其中区域D为由曲线x^2+y^2=4所围成的闭区域.

本题考查二重积分的几何意义以及利用极坐标计算二重积分的方法。

• 方法一：利用二重积分的几何意义
  二重积分$\iint\limits_{D}dxdy$的几何意义是区域$D$的面积。已知区域$D$为由曲线$x^{2}+y^{2}=4$所围成的闭区域，此曲线方程符合圆的标准方程$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$（其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径），在$x^{2}+y^{2}=4$中，圆心为$(0,0)$，半径$r = \sqrt{4}=2$。
  根据圆的面积公式$A = \pi r^2$，将$r = 2$代入可得：
  $A=\pi\times2^2 = 4\pi$
• 方法二：利用极坐标计算二重积分
  在极坐标中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，且$dxdy = r drd\theta$。
  对于圆$x^{2}+y^{2}=4$，在极坐标下的方程为$r^2 = 4$，即$r = 2$。
  积分区域$D$在极坐标下表示为$0\leqslant r\leqslant 2$，$0\leqslant\theta\leqslant 2\pi$。
  则$\iint\limits_{D}dxdy=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}r dr$。
  先计算内层积分$\int_{0}^{2}r dr$，根据积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$）可得：
  $\int_{0}^{2}r dr=\left[\frac{1}{2}r^2\right]_{0}^{2}=\frac{1}{2}\times2^2-\frac{1}{2}\times0^2 = 2$
  再计算外层积分$\int_{0}^{2\pi}2 d\theta$，可得：
  $\int_{0}^{2\pi}2 d\theta=2\left[\theta\right]_{0}^{2\pi}=2\times(2\pi - 0)=4\pi$