17.（单选题，2.0分）设Ω：z=x²+y²，1≤z≤4，计算I=iiintlimits_(Omega )zdxdydz=（）.A. 22πB. 21πC. 20πD. 25π

本题考查利用柱坐标计算三重积分的知识点。解题思路是先将直角坐标系下的三重积分转化为柱坐标系下的三重积分，然后确定积分限，最后进行积分计算。

步骤一：将直角坐标转化为柱坐标

在柱坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，且$dxdydz = rdzdrd\theta$。
已知$\Omega$：$z = x^2 + y^2$，$1\leq z\leq 4$，将$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$代入$z = x^2 + y^2$可得$z = r^2$。

步骤二：确定积分限

• $\theta$的范围：由于是绕$z$轴旋转一周，所以$\theta$的范围是$[0, 2\pi]$。
• $r$的范围：由$z = r^2$，$1\leq z\leq 4$，可得$1\leq r^2\leq 4$，即$1\leq r\leq 2$。
• $z$的范围：已知$1\leq z\leq 4$，同时$z$还满足$r^2\leq z\leq 4$。

步骤三：将三重积分转化为柱坐标下的积分并计算

原积分$I = \iiint\limits_{\Omega} z dxdydz$转化为柱坐标下的积分：
$\begin{align*}I&=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{1}^{2}rdr\int_{r^2}^{4}zdz\\&=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{1}^{2}r\cdot\left[\frac{1}{2}z^2\right]_{r^2}^{4}dr\\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{1}^{2}r\cdot(4^2 - r^4)dr\\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{1}^{2}(16r - r^5)dr\\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}d\theta\cdot\left[8r^2 - \frac{1}{6}r^6\right]_{1}^{2}\\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}d\theta\cdot\left[\left(8\times2^2 - \frac{1}{6}\times2^6\right) - \left(8\times1^2 - \frac{1}{6}\times1^6\right)\right]\\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}d\theta\cdot\left[\left(32 - \frac{32}{3}\right) - \left(8 - \frac{1}{6}\right)\right]\\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}d\theta\cdot\left(\frac{64}{3} - \frac{47}{6}\right)\\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}d\theta\cdot\frac{81}{6}\\&=\frac{27}{4}\int_{0}^{2\pi}d\theta\\&=\frac{27}{4}\times 2\pi\\&= 21\pi\end{align*}$