向量overrightarrow(α)=（1，2，2）与向量overrightarrow(β)=（3，1，5）的夹角θ= ____ ．

考查要点：本题主要考查向量夹角的计算，涉及向量的点积、模长的计算，以及反余弦函数的应用。

解题核心思路：

1. 向量点积公式：$\overrightarrow{α} \cdot \overrightarrow{β} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$；
2. 向量模长公式：$|\overrightarrow{α}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$；
3. 夹角公式：$\cosθ = \frac{\overrightarrow{α} \cdot \overrightarrow{β}}{|\overrightarrow{α}| |\overrightarrow{β}|}$，最终通过反余弦函数求角度。

破题关键点：

• 正确计算点积和模长，避免计算错误；
• 分母有理化简化表达式；
• 明确夹角范围$θ ∈ [0, π]$，直接用反余弦表示结果。

步骤1：计算向量点积

$\overrightarrow{α} \cdot \overrightarrow{β} = 1 \times 3 + 2 \times 1 + 2 \times 5 = 3 + 2 + 10 = 15$。

步骤2：计算向量模长

• $|\overrightarrow{α}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$；
• $|\overrightarrow{β}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35}$。

步骤3：代入夹角公式

$\cosθ = \frac{15}{3 \times \sqrt{35}} = \frac{5}{\sqrt{35}} = \frac{\sqrt{35}}{7}$（有理化后）。

步骤4：求角度

由于$θ ∈ [0, π]$，故$θ = \arccos\left(\frac{\sqrt{35}}{7}\right)$。