题目

"n阶方阵A可逆", 则下列是其等价命题的有 ( ) 个.(i) |A|neq 0(ii) |A|neq 0（iii）A的行 (列) 向量组线性相关(iv) A与单位矩阵相似(v) 方程组|A|neq 0有唯一解 (A为n阶方阵)A. 2B. 3C. 4D. 5

"n阶方阵A可逆", 则下列是其等价命题的有 ( ) 个.

(i) $|A|\ne0$

(ii) $tr(A)\ne0$

（iii）A的行 (列) 向量组线性相关

(iv) A与单位矩阵相似

(v) 方程组 $AX=b$ 有唯一解 (A为n阶方阵)

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

题目解答

答案

(i) $|A|\ne0$ ：这是矩阵A可逆的充分必要条件。因为矩阵的行列式不为0当且仅当矩阵可逆。所以(i)是等价命题。

(ii) $tr(A)\ne0$ ：矩阵的迹（即对角线元素之和）不为0，并不能保证矩阵可逆。例如，矩阵

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ 的迹为2，但它是不可逆的（因为行列式为0）。所以(ii)不是等价命题。

(iii) A的行(列)向量组线性相关：如果A的行(列)向量组线性相关，那么A的秩小于n，从而A不可逆。因此，(iii)的表述实际上是A不可逆的一个条件，所以(iii)不是等价命题。

(iv) A与单位矩阵相似：如果A与单位矩阵相似，那么存在一个可逆矩阵P，使得 $P^{-1}AP=I$ 。由此可得 $A=PIP^{-1}=I$ （因为I与任何矩阵相乘都等于它本身），但这显然是不可能的（除非A本身就是单位矩阵，但题目没有这样的限制）。实际上，这里的表述应该是A与某个可逆矩阵相似，但这仍然不足以证明A可逆（因为相似的矩阵可能有不同的行列式）。然而，如果A与某个可逆矩阵相似，那么A的行列式也不为0（因为相似的矩阵有相同的行列式），所以A可逆。但原命题的表述不够准确，不过从另一个角度来看，如果理解为“存在某个可逆矩阵与A相似”，则(iv)是等价命题。但按照原题的表述，我们认为(iv)不是等价命题。

(v) 方程组 $AX=b$ 有唯一解（A为n阶方阵）：当A可逆时，对于任意的b，方程 $AX=b$ 都有唯一解 $X=A^{-1}b$ 。反之，如果对于任意的b，方程 $AX=b$ 都有唯一解，那么A的列向量组线性无关（即A的秩为n），且A的行列式不为0（因为行列式为0当且仅当存在非零向量v使得 $Av=0$ ，即存在无解或无穷多解的方程组），所以A可逆。因此，(v)是等价命题。

综上，等价命题有2个：(i)和(v)。

故答案为：A. 2