题目
6.计算曲面积分: https:/img.zuoyebang.cc/zyb_3d19c397c7fc8e7fb233a221fc906756.jpg=iint dfrac ({z)^2}({x)^2+(y)^2}dxdy, 其中∑为 z=√(2ax-x^2-y^2)(a>0) 在 ^2+(y)^2=(a)^2 的外-|||-面部分的外侧.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲面方程和积分区域
曲面方程为 $z=\sqrt{2ax-x^2-y^2}$，积分区域为 $x^2+y^2=a^2$ 的外面部分。首先，我们注意到曲面方程可以写为 $z^2=2ax-x^2-y^2$，即 $x^2+y^2+z^2=2ax$。这是一个球面方程，球心在 $(a,0,0)$，半径为 $a$。积分区域为球面在 $x^2+y^2=a^2$ 的外面部分。
步骤 2：转换为极坐标
为了方便计算，我们使用极坐标。令 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，则 $x^2+y^2=r^2$。积分区域变为 $r\geq a$，$-\frac{\pi}{3}\leq\theta\leq\frac{\pi}{3}$。曲面方程变为 $z^2=2ar-r^2$，即 $z=\sqrt{2ar-r^2}$。
步骤 3：计算曲面积分
曲面积分可以写为 $I=\iint \dfrac{z^2}{x^2+y^2}dxdy$。将 $z^2=2ar-r^2$ 和 $x^2+y^2=r^2$ 代入，得到 $I=\iint \dfrac{2ar-r^2}{r^2}rdrd\theta$。化简后得到 $I=\iint (2a/r-1)drd\theta$。积分区域为 $r\geq a$，$-\frac{\pi}{3}\leq\theta\leq\frac{\pi}{3}$。计算积分得到 $I=(\pi-\frac{3\sqrt{3}}{2})a^2$。
曲面方程为 $z=\sqrt{2ax-x^2-y^2}$，积分区域为 $x^2+y^2=a^2$ 的外面部分。首先，我们注意到曲面方程可以写为 $z^2=2ax-x^2-y^2$，即 $x^2+y^2+z^2=2ax$。这是一个球面方程，球心在 $(a,0,0)$，半径为 $a$。积分区域为球面在 $x^2+y^2=a^2$ 的外面部分。
步骤 2：转换为极坐标
为了方便计算，我们使用极坐标。令 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，则 $x^2+y^2=r^2$。积分区域变为 $r\geq a$，$-\frac{\pi}{3}\leq\theta\leq\frac{\pi}{3}$。曲面方程变为 $z^2=2ar-r^2$，即 $z=\sqrt{2ar-r^2}$。
步骤 3：计算曲面积分
曲面积分可以写为 $I=\iint \dfrac{z^2}{x^2+y^2}dxdy$。将 $z^2=2ar-r^2$ 和 $x^2+y^2=r^2$ 代入，得到 $I=\iint \dfrac{2ar-r^2}{r^2}rdrd\theta$。化简后得到 $I=\iint (2a/r-1)drd\theta$。积分区域为 $r\geq a$，$-\frac{\pi}{3}\leq\theta\leq\frac{\pi}{3}$。计算积分得到 $I=(\pi-\frac{3\sqrt{3}}{2})a^2$。