题目
已知向量a_(1)=(1,2)^T,a_(2)=(1,3)^T,beta=(3,8)^T,可得beta=x_(1)a_(1)+x_(2)a_(2),则x_(1)=____,x_(2)=____.
已知向量$a_{1}=(1,2)^{T},a_{2}=(1,3)^{T},\beta=(3,8)^{T},$可得$\beta=x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2},$则$x_{1}=$____,$x_{2}=$____.
题目解答
答案
将向量代入方程得：
\[
\begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix} = x_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + x_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}
\]
化为线性方程组：
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 = 3 \\
2x_1 + 3x_2 = 8
\end{cases}
\]
消元法求解：
1. 第一个方程乘以2：$2x_1 + 2x_2 = 6$
2. 第二个方程减去第一个方程：$x_2 = 2$
3. 代入第一个方程：$x_1 = 1$
答案：$\boxed{1}$，$\boxed{2}$
解析
本题考查向量的线性组合以及线性方程组的求解。解题思路是先将已知向量代入向量线性组合的等式中，然后根据向量相等的条件得到线性方程组，最后通过消元法求解该线性方程组。
- 将向量代入方程：
已知$\beta = x_1a_1 + x_2a_2$，把$a_{1}=(1,2)^{T}$，$a_{2}=(1,3)^{T}$，$\beta=(3,8)^{T}$代入可得：
$\begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix} = x_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + x_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$
根据向量数乘和加法运算规则，$x_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + x_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1 \\ 2x_1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_2 \\ 3x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ 2x_1 + 3x_2 \end{pmatrix}$
所以得到$\begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ 2x_1 + 3x_2 \end{pmatrix}$。 - 化为线性方程组：
根据向量相等的条件，即两个向量对应分量相等，可得：
$\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ 2x_1 + 3x_2 = 8 \end{cases}$ - 消元法求解线性方程组：
- 为了消去$x_1$，将第一个方程$x_1 + x_2 = 3$两边同时乘以$2$，根据等式性质可得$2(x_1 + x_2)=2\times3$，即$2x_1 + 2x_2 = 6$。
- 用第二个方程$2x_1 + 3x_2 = 8$减去上式$2x_1 + 2x_2 = 6$，可得：
$(2x_1 + 3x_2)-(2x_1 + 2x_2)=8 - 6$
去括号得$2x_1 + 3x_2 - 2x_1 - 2x_2 = 2$，合并同类项得$x_2 = 2$。 - 将$x_2 = 2$代入第一个方程$x_1 + x_2 = 3$，可得$x_1 + 2 = 3$，移项可得$x_1 = 3 - 2 = 1$。