题目

13.设z1,z2,z3三点适合条件 _(1)+(z)_(2)+(z)_(3)=0 |(z)_(1)|=|(z)_(2)|=|(z)_(3)|=1, 证明z1,z2,z3是内接-|||-于单位圆周 |z|=1 的一个正三角形的顶点.

$\begin{aligned}&\text{13. 设 }z_1,z_2,z_3\text{ 三点适合条件 }z_1+z_2+z_3=0,|z_1|=|z_2|=|z_3|=1,\text{证明 }z_1,z_2,z_3\text{ 是内接}\\&\text{于单位圆周}|z|=1\text{ 的一个正三角形的顶点}.\end{aligned}$

题目解答

答案

$\begin{aligned} &由于|z_1|=|z_2|=|z_3|=1,所以z_1,z_2与z_3位于单位圆周|z\mid=1\text{ 上.}\\&为证\bigtriangleup z_1z_2z_3\text{是一正三角形},\text{不失一般性},\text{可设} \\ &z_1=1,z_2=\cos\theta_2+i\sin\theta_2,z_3=\cos\theta_3+i\sin\theta_3,\text{代人 }z_1+z_2+ \\ &z_3 = 0 ,可得 \\ &1+\cos\theta_2+\cos\theta_3=0,\quad\sin\theta_2+\sin\theta_3=0. \\ &\text{由后一等式得 }\theta_3=-\theta_2,\text{再代人前一等式又得 }\cos\theta_2=-\frac12,\text{从而} \\ &\theta_2=\frac23\pi,\theta_3=-\frac23\pi,\text{因此}\triangle_{z_1z_2z_3}\text{为正三角形} \end{aligned}$

解析

步骤 1：理解条件
给定条件 ${z}_{1}+{z}_{2}+{z}_{3}=0$ 和 $|{z}_{1}|=|{z}_{2}|=|{z}_{3}|=1$，其中 $z_1, z_2, z_3$ 是复数。这意味着 $z_1, z_2, z_3$ 都位于单位圆上，且它们的和为零。

步骤 2：利用复数的性质
由于 $|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1$，我们可以将 $z_1, z_2, z_3$ 表示为 $e^{i\theta_1}, e^{i\theta_2}, e^{i\theta_3}$，其中 $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ 是实数。因此，$z_1 + z_2 + z_3 = e^{i\theta_1} + e^{i\theta_2} + e^{i\theta_3} = 0$。

步骤 3：证明正三角形
由于 $z_1, z_2, z_3$ 都位于单位圆上，且它们的和为零，这意味着它们在复平面上构成一个等边三角形。这是因为，如果 $z_1, z_2, z_3$ 构成一个等边三角形，那么它们的向量和为零，且每个向量的模长为1。因此，$z_1, z_2, z_3$ 是内接于单位圆周 $|z|=1$ 的一个正三角形的顶点。