题目
已知 f(x)= (B) dfrac {3)(2) (C)2 (D) dfrac (1)(2)
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解函数 f(x) 的定义
函数 f(x) 在 x < 0 时为 0，在 0 ≤ x ≤ 1 时为 $\sqrt{x}$，在 x > 1 时为 0。这意味着函数 f(x) 在 x = 0 到 x = 1 的区间内是非零的，且为 $\sqrt{x}$。
步骤 2：计算积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }kf(x)dx$
由于 f(x) 在 x < 0 和 x > 1 时为 0，所以积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }kf(x)dx$ 可以简化为 ${\int }_{0}^{1}k\sqrt{x}dx$。接下来，我们计算这个积分。
${\int }_{0}^{1}k\sqrt{x}dx = k{\int }_{0}^{1}\sqrt{x}dx = k{\int }_{0}^{1}x^{\frac{1}{2}}dx = k\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1} = k\left(\frac{2}{3}1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}0^{\frac{3}{2}}\right) = \frac{2}{3}k$。
步骤 3：根据题设条件求解 k
根据题设条件，${\int }_{-\infty }^{+\infty }kf(x)dx=1$，即 $\frac{2}{3}k = 1$。解这个方程得到 $k = \frac{3}{2}$。
函数 f(x) 在 x < 0 时为 0，在 0 ≤ x ≤ 1 时为 $\sqrt{x}$，在 x > 1 时为 0。这意味着函数 f(x) 在 x = 0 到 x = 1 的区间内是非零的，且为 $\sqrt{x}$。
步骤 2：计算积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }kf(x)dx$
由于 f(x) 在 x < 0 和 x > 1 时为 0，所以积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }kf(x)dx$ 可以简化为 ${\int }_{0}^{1}k\sqrt{x}dx$。接下来，我们计算这个积分。
${\int }_{0}^{1}k\sqrt{x}dx = k{\int }_{0}^{1}\sqrt{x}dx = k{\int }_{0}^{1}x^{\frac{1}{2}}dx = k\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1} = k\left(\frac{2}{3}1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}0^{\frac{3}{2}}\right) = \frac{2}{3}k$。
步骤 3：根据题设条件求解 k
根据题设条件，${\int }_{-\infty }^{+\infty }kf(x)dx=1$，即 $\frac{2}{3}k = 1$。解这个方程得到 $k = \frac{3}{2}$。