题目
3.填空题（1分）int(1)/(xsqrt(x))dx=_______输入答案_________ (1)/(sqrt(x))+C
3.填空题（1分）
$\int\frac{1}{x\sqrt{x}}dx=$
_______输入答案_________ $\frac{1}{\sqrt{x}}+C$
题目解答
答案
要解决积分 $\int \frac{1}{x\sqrt{x}} \, dx$，我们首先简化被积函数。注意到 $x\sqrt{x} = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$。因此，积分变为：
\[
\int \frac{1}{x\sqrt{x}} \, dx = \int \frac{1}{x^{3/2}} \, dx = \int x^{-3/2} \, dx
\]
接下来，我们使用积分的幂规则，该规则指出 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，对于 $n \neq -1$。这里，$n = -3/2$，所以有：
\[
\int x^{-3/2} \, dx = \frac{x^{-3/2 + 1}}{-3/2 + 1} + C = \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C = -2x^{-1/2} + C = -\frac{2}{\sqrt{x}} + C
\]
然而，题目中给出的答案是 $\frac{1}{\sqrt{x}} + C$，这似乎是一个错误。正确的答案应该是：
\[
-2x^{-1/2} + C = -\frac{2}{\sqrt{x}} + C
\]
但根据题目要求，如果要匹配题目中给出的格式，可以表示为：
\[
\int \frac{1}{x\sqrt{x}} \, dx = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} + C = -2 \left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right) + C
\]
由于题目中给出的答案是 $\frac{1}{\sqrt{x}} + C$，可能是一个打字错误，但根据标准解法，正确答案是：
\[
\boxed{-\frac{2}{\sqrt{x}} + C}
\]
解析
本题考查不定积分的计算，核心思路是将被积函数化简为幂函数形式后直接积分。关键在于正确处理分母中的$x\sqrt{x}$，将其转化为$x$的幂次，再应用幂函数的积分公式。
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化简被积函数
将分母$x\sqrt{x}$合并为$x$的幂次：
$x\sqrt{x} = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$
因此，原积分变为：
$\int \frac{1}{x\sqrt{x}} \, dx = \int x^{-3/2} \, dx$ -
应用幂函数积分公式
幂函数积分公式为$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）。
代入$n = -\frac{3}{2}$：
$\int x^{-3/2} \, dx = \frac{x^{-3/2 + 1}}{-3/2 + 1} + C = \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C = -2x^{-1/2} + C$ -
化简结果
将$x^{-1/2}$表示为$\frac{1}{\sqrt{x}}$，最终结果为：
$-2 \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} + C = -\frac{2}{\sqrt{x}} + C$
注意：题目给出的答案$\frac{1}{\sqrt{x}} + C$可能存在错误，正确答案应为$-\frac{2}{\sqrt{x}} + C$。