题目
注 类似地，可以求极限lim_(xtoinfty)((1)/(x)cdot(a^x-1)/(a-1))^(1)/(x)(a>0,aneq1).（0<1）
注 类似地，可以求极限
$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x}\cdot\frac{a^{x}-1}{a-1}\right)^{\frac{1}{x}}(a>0,a\neq1).$（0<1）
题目解答
答案
设 $f(x) = \left( \frac{1}{x} \cdot \frac{a^x - 1}{a - 1} \right)^{\frac{1}{x}}$，取对数得：
\[
\ln f(x) = -\frac{\ln x}{x} + \frac{\ln (a^x - 1)}{x} - \frac{\ln (a - 1)}{x}.
\]
当 $x \to +\infty$ 时：
- 对于 $a > 1$，$\ln (a^x - 1) \approx x \ln a$，故 $\lim \ln f(x) = \ln a$，即 $\lim f(x) = a$。
- 对于 $0 < a < 1$，$\ln (1 - a^x) \to 0$，故 $\lim \ln f(x) = 0$，即 $\lim f(x) = 1$。
**答案：**
\[
\boxed{\begin{cases}
a & a > 1, \\
1 & 0 < a < 1.
\end{cases}}
\]
或
\[
\boxed{\max(a, 1)}.
\]
解析
考查要点：本题主要考查极限的求解方法，特别是对指数函数与对数函数的处理，以及分类讨论思想的应用。
解题核心思路：
- 取对数化简：将复杂的指数表达式转化为对数形式，简化极限计算。
- 分情况讨论：根据参数$a$的不同取值范围（$a>1$或$0
- 极限运算：结合对数函数的性质，分别处理不同情况下的极限表达式。
破题关键点：
- 对数转换：通过取自然对数将原式转化为多项式形式，便于拆分和求极限。
- 渐近展开：当$x \to +\infty$时，对$a^x$进行近似展开，简化表达式。
- 分类讨论：明确$a>1$和$0
设函数$f(x) = \left( \frac{1}{x} \cdot \frac{a^x - 1}{a - 1} \right)^{\frac{1}{x}}$，取自然对数得：
$\ln f(x) = -\frac{\ln x}{x} + \frac{\ln (a^x - 1)}{x} - \frac{\ln (a - 1)}{x}.$
分情况讨论：
当$a > 1$时：
- 近似展开：当$x \to +\infty$时，$a^x \gg 1$，故$\ln(a^x - 1) \approx \ln a^x = x \ln a$。
- 代入表达式：
$\ln f(x) \approx -\frac{\ln x}{x} + \frac{x \ln a}{x} - \frac{\ln (a - 1)}{x} = \ln a - \frac{\ln x + \ln (a - 1)}{x}.$ - 求极限：当$x \to +\infty$时，$\frac{\ln x}{x} \to 0$且$\frac{\ln (a - 1)}{x} \to 0$，故$\lim \ln f(x) = \ln a$，因此$\lim f(x) = a$。
当$0 < a < 1$时：
- 近似展开：当$x \to +\infty$时，$a^x \to 0$，故$\ln(a^x - 1) = \ln(-1 + a^x) \approx \ln(-1) = \ln 1 = 0$（需注意此处实际应为$\ln(1 - a^x) \to 0$）。
- 代入表达式：
$\ln f(x) = -\frac{\ln x}{x} + \frac{\ln(1 - a^x)}{x} - \frac{\ln (a - 1)}{x}.$ - 求极限：当$x \to +\infty$时，$\ln(1 - a^x) \to 0$，且$\frac{\ln x}{x} \to 0$，$\frac{\ln (a - 1)}{x} \to 0$，故$\lim \ln f(x) = 0$，因此$\lim f(x) = 1$。