题目
[题目]求过点 (2,0,-3) 且与直线-|||- ) x-2y+4z-7=0 3x+5y-2z+1=0 . 垂直的平面方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定直线的方向向量
直线的方向向量可以通过两个平面的法向量的叉乘得到。给定的两个平面的法向量分别为 $\overrightarrow{n_1} = (1, -2, 4)$ 和 $\overrightarrow{n_2} = (3, 5, -2)$。因此，直线的方向向量 $\overrightarrow{d}$ 为 $\overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2}$。
步骤 2：计算直线的方向向量
$\overrightarrow{d} = \overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ 1 & -2 & 4 \\ 3 & 5 & -2 \end{vmatrix} = (-2 \cdot (-2) - 4 \cdot 5)\overrightarrow{i} - (1 \cdot (-2) - 4 \cdot 3)\overrightarrow{j} + (1 \cdot 5 - (-2) \cdot 3)\overrightarrow{k} = (4 - 20)\overrightarrow{i} - (-2 - 12)\overrightarrow{j} + (5 + 6)\overrightarrow{k} = -16\overrightarrow{i} + 14\overrightarrow{j} + 11\overrightarrow{k}$。
步骤 3：确定平面的法向量
由于直线与平面垂直，所以平面的法向量等于直线的方向向量，即 $\overrightarrow{n} = (-16, 14, 11)$。
步骤 4：写出平面方程
平面方程的一般形式为 $Ax + By + Cz + D = 0$，其中 $(A, B, C)$ 是平面的法向量，$(x_0, y_0, z_0)$ 是平面上的一点。将法向量 $\overrightarrow{n} = (-16, 14, 11)$ 和点 $(2, 0, -3)$ 代入，得到 $-16(x - 2) + 14(y - 0) + 11(z + 3) = 0$，化简得 $-16x + 32 + 14y + 11z + 33 = 0$，即 $-16x + 14y + 11z + 65 = 0$，或 $16x - 14y - 11z - 65 = 0$。
直线的方向向量可以通过两个平面的法向量的叉乘得到。给定的两个平面的法向量分别为 $\overrightarrow{n_1} = (1, -2, 4)$ 和 $\overrightarrow{n_2} = (3, 5, -2)$。因此，直线的方向向量 $\overrightarrow{d}$ 为 $\overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2}$。
步骤 2：计算直线的方向向量
$\overrightarrow{d} = \overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ 1 & -2 & 4 \\ 3 & 5 & -2 \end{vmatrix} = (-2 \cdot (-2) - 4 \cdot 5)\overrightarrow{i} - (1 \cdot (-2) - 4 \cdot 3)\overrightarrow{j} + (1 \cdot 5 - (-2) \cdot 3)\overrightarrow{k} = (4 - 20)\overrightarrow{i} - (-2 - 12)\overrightarrow{j} + (5 + 6)\overrightarrow{k} = -16\overrightarrow{i} + 14\overrightarrow{j} + 11\overrightarrow{k}$。
步骤 3：确定平面的法向量
由于直线与平面垂直，所以平面的法向量等于直线的方向向量，即 $\overrightarrow{n} = (-16, 14, 11)$。
步骤 4：写出平面方程
平面方程的一般形式为 $Ax + By + Cz + D = 0$，其中 $(A, B, C)$ 是平面的法向量，$(x_0, y_0, z_0)$ 是平面上的一点。将法向量 $\overrightarrow{n} = (-16, 14, 11)$ 和点 $(2, 0, -3)$ 代入，得到 $-16(x - 2) + 14(y - 0) + 11(z + 3) = 0$，化简得 $-16x + 32 + 14y + 11z + 33 = 0$，即 $-16x + 14y + 11z + 65 = 0$，或 $16x - 14y - 11z - 65 = 0$。