设函数(x)=lim _(narrow infty )dfrac ({x)^n+3}(sqrt {{3)^2n+(x)^2n}}(-infty lt xlt +infty )，则(x)=lim _(narrow infty )dfrac ({x)^n+3}(sqrt {{3)^2n+(x)^2n}}(-infty lt xlt +infty )在区间(x)=lim _(narrow infty )dfrac ({x)^n+3}(sqrt {{3)^2n+(x)^2n}}(-infty lt xlt +infty )上()A.连续B.有一个可去间断点C.有一个跳跃间断点D.有一个第二类间断点

考查要点：本题主要考查极限的计算、分段函数的构造以及函数在区间内的连续性与间断点类型的判断。

解题核心思路：

1. 化简极限表达式：通过比较分母中的$3^{2n}$和$x^{2n}$的主导项，将原极限转化为分段函数。
2. 分段讨论：根据$|x|$与$3$的大小关系，确定不同区间内函数的表达式。
3. 分析间断点：重点关注分段点$x=3$处的左右极限是否存在且相等，判断间断点类型。

破题关键：

• 主导项分析：当$|x|>3$时，分母由$x^{2n}$主导；当$|x|<3$时，分母由$3^{2n}$主导；当$|x|=3$时，分母为$\sqrt{2} \cdot 3^n$。
• 极限化简：通过提取公因子，将原式转化为易于分析的分段形式。

步骤1：化简极限表达式

原函数为：
$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+3}}{\sqrt{3^{2n} + x^{2n}}}$

将分母提取公因子：

• 当$|x| > 3$时，分母$\sqrt{3^{2n} + x^{2n}} \approx x^n$，分子$x^{n+3} = x^n \cdot x^3$，故极限为$x^3$。
• 当$|x| < 3$时，分母$\sqrt{3^{2n} + x^{2n}} \approx 3^n$，分子$x^{n+3}$趋向于$0$，故极限为$0$。
• 当$|x| = 3$时，分母$\sqrt{3^{2n} + 3^{2n}} = 3^n \sqrt{2}$，分子$3^{n+3} = 3^n \cdot 27$，故极限为$\frac{27}{\sqrt{2}}$。

步骤2：分段函数表达式

$f(x) = \begin{cases} x^3, & x > 3, \\\frac{27}{\sqrt{2}}, & x = 3, \\0, & 1 < x < 3.\end{cases}$

步骤3：分析间断点

在区间$(1, +\infty)$内，分段点为$x=3$：

• 左极限：$\lim_{x \to 3^-} f(x) = 0$；
• 右极限：$\lim_{x \to 3^+} f(x) = 27$；
• 函数值：$f(3) = \frac{27}{\sqrt{2}}$。

结论：左右极限存在但不相等，故$x=3$为跳跃间断点。