【例7】(2024,数二)函数f(x)=|x|(1)/((1-x)(x-2))的第一类间断点的个数是A. 3.B. 2.C. 1.D. 0.

本题考查函数间断点的分类，解题的关键在于先找出函数的间断点，再根据间断点处左右极限的情况判断间断点的类型。

步骤一：找出函数的间断点

对于函数$f(x)=\vert x\vert\frac{1}{(1 - x)(x - 2)}$，要使函数有意义，则分母不能为$0$，即$(1 - x)(x - 2)\neq 0$，解得$x\neq 1$且$x\neq 2$。同时，绝对值函数$\vert x\vert$在$x = 0$处需要单独讨论，所以函数$f(x)$的间断点为$x = 0$，$x = 1$，$x = 2$。

步骤二：判断间断点的类型

• 判断$x = 0$处的间断点类型：
  当$x\to 0^+$时，$f(x)=x\frac{1}{(1 - x)(x - 2)}$，则$\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}x\frac{1}{(1 - x)(x - 2)} = 0$；
  当$x\to 0^-$时，$f(x)= -x\frac{1}{(1 - x)(x - 2)}$，则$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}-x\frac{1}{(1 - x)(x - 2)} = 0$。
  因为$\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=0$，所以$x = 0$是可去间断点，属于第一类间断点。
• 判断$x = 1$处的间断点类型：
  $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}\vert x\vert\frac{1}{(1 - x)(x - 2)}=\lim\limits_{x\to 1}x\frac{1}{(1 - x)(x - 2)}=\infty$，所以$x = 1$是无穷间断点，属于第二类间断点。
• 判断$x = 2$处的间断点类型：
  $\lim\limits_{x\to 2}f(x)=\lim\limits_{x\to 2}\vert x\vert\frac{1}{(1 - x)(x - 2)}=\lim\limits_{x\to 2}x\frac{1}{(1 - x)(x - 2)}=\infty$，所以$x = 2$是无穷间断点，属于第二类间断点。

综上，函数$f(x)$的第一类间断点只有$x = 0$这$1$个。