写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：(1) 曲线在点(x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方；(2) 曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分；(3) 曲线上点P(x,y)处的切线与y轴的交点为Q，线段PQ的长度为a，且曲线通过点(a,0).

本题主要考查根据曲线的几何性质建立微分方程，关键在于利用导数的几何意义（切线斜率）以及相关几何关系（如法线、线段中点、线段长度等）来构建方程。

(1)

本题考查导数的几何意义。解题思路为：根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，已知曲线在点$(x,y)$处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，所以可直接得到曲线所满足的微分方程。
因为曲线在点$(x,y)$处的切线斜率为$y'$，且该斜率等于横坐标$x$的平方，所以可得$y' = x^2$。

(2)

本题考查法线方程以及中点坐标公式的应用。解题思路为：先求出曲线在点$P(x,y)$处的法线方程，再求出法线与$x$轴的交点$Q$的坐标，最后根据线段$PQ$被$y$轴平分，即$PQ$中点的横坐标为$0$，列出方程并化简。

• 步骤一：求曲线在点$P(x,y)$处的法线方程
  已知曲线在点$P(x,y)$处的切线斜率为$y'$，根据法线与切线垂直，可知法线斜率为$-\frac{1}{y'}$。
  由点斜式可得法线方程为$Y - y = -\frac{1}{y'}(X - x)$。
• 步骤二：求法线与$x$轴的交点$Q$的坐标
  令$Y = 0$，则$0 - y = -\frac{1}{y'}(X - x)$，解关于$X$的方程：
  $\begin{align*}-y&=-\frac{1}{y'}(X - x)\\y\cdot y'&=X - x\\X&=x + yy'\end{align*}$
  所以交点$Q$的坐标为$(x + yy', 0)$。
• 步骤三：根据线段$PQ$被$y$轴平分列方程并化简
  已知$P(x,y)$，$Q(x + yy', 0)$，根据中点坐标公式，$PQ$中点的横坐标为$\frac{x + (x + yy')}{2}$。
  因为线段$PQ$被$y$轴平分，所以中点横坐标为$0$，即$\frac{x + (x + yy')}{2} = 0$，化简可得：
  $\begin{align*}\frac{2x + yy'}{2}&=0\\2x + yy'&=0\\yy' + 2x&=0\end{align*}$

(3)

本题考查切线方程以及两点间距离公式的应用。解题思路为：先求出曲线在点$P(x,y)$处的切线方程，再求出切线与$y$轴的交点$Q$的坐标，然后根据线段$PQ$的长度为$a$，利用两点间距离公式列出方程并化简，最后结合曲线通过点$(a,0)$得到初始条件。

• 步骤一：求曲线在点$P(x,y)$处的切线方程
  由点斜式可得切线方程为$Y - y = y'(X - x)$。
• 步骤二：求切线与$y$轴的交点$Q$的坐标
  令$X = 0$，则$Y - y = y'(0 - x)$，解关于$Y$的方程可得$Y = y - xy'$，所以交点$Q$的坐标为$(0, y - xy')$。
• 步骤三：根据线段$PQ$的长度为$a$列方程并化简
  已知$P(x,y)$，$Q(0, y - xy')$，根据两点间距离公式$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，可得线段$PQ$的长度为：
  $\begin{align*}\vert PQ\vert&=\sqrt{(x - 0)^2 + [y - (y - xy')]^2}\\&=\sqrt{x^2 + (xy')^2}\\&=\vert x\vert\sqrt{1 + (y')^2}\end{align*}$
  因为线段$PQ$的长度为$a$，所以$\vert x\vert\sqrt{1 + (y')^2} = a$，两边同时平方可得$x^2[1 + (y')^2] = a^2$。
• 步骤四：确定初始条件
  已知曲线通过点$(a,0)$，所以初始条件为$y(a) = 0$。