写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：(1) 曲线在点(x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方；(2) 曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分；(3) 曲线上点P(x,y)处的切线与y轴的交点为Q，线段PQ的长度为a，且曲线通过点(a,0).

(1) 曲线在点 $(x, y)$ 处的切线斜率等于横坐标平方，即 $y' = x^2$。
答案： $y' = x^2$

(2) 法线方程为 $Y - y = -\frac{1}{y'}(X - x)$，与 $x$ 轴交点 $Q(x + yy', 0)$。
中点横坐标 $\frac{2x + yy'}{2} = 0$，得 $yy' + 2x = 0$。
答案： $yy' + 2x = 0$（或 $y \frac{dy}{dx} + 2x = 0$）

(3) 切线方程为 $Y - y = y'(X - x)$，与 $y$ 轴交点 $Q(0, y - xy')$。
线段 $PQ$ 长度 $|x|\sqrt{1 + (y')^2} = a$，即 $x^2[1 + (y')^2] = a^2$。
答案： $x^2[1 + (y')^2] = a^2$（初始条件 $y(a) = 0$）

$\boxed{\begin{array}{ccc}\text{(1) } y' = x^2 \\\text{(2) } yy' + 2x = 0 \\\text{(3) } x^2[1 + (y')^2] = a^2 \text{（初始条件 } y(a) = 0 \text{）}\end{array}}$