题目
30.填空题(5分)计算int(1-2x^4)dx
30.填空题(5分)
计算$\int(1-2x^{4})dx$
题目解答
答案
为了计算积分 $\int(1-2x^{4})dx$，我们将分别积分表达式中的每一项。积分的和等于各部分积分的和，因此我们可以写成：
\[
\int(1-2x^{4})dx = \int 1 \, dx - \int 2x^{4} \, dx
\]
首先，我们积分常数项1。常数的积分是常数乘以 $x$：
\[
\int 1 \, dx = x
\]
接下来，我们积分项 $-2x^4$。我们可以从积分中提取常数 $-2$：
\[
\int 2x^{4} \, dx = 2 \int x^{4} \, dx
\]
$x^4$ 的积分是通过将 $x$ 的指数加1，然后除以新的指数来找到的。因此，我们有：
\[
\int x^{4} \, dx = \frac{x^{5}}{5}
\]
所以，
\[
2 \int x^{4} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{5}}{5} = \frac{2x^{5}}{5}
\]
现在，将所有部分放在一起，我们得到：
\[
\int(1-2x^{4})dx = x - \frac{2x^{5}}{5} + C
\]
其中 $C$ 是积分常数。因此，最终答案是：
\[
\boxed{x - \frac{2x^5}{5} + C}
\]
解析
考查要点：本题主要考查不定积分的基本计算方法，特别是对多项式函数的积分。
解题思路：利用积分的线性性质，将被积函数分解为单项式的和（或差），分别积分后再合并结果。
关键点：
- 单项式积分法则：$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）；
- 常数因子可提到积分号外。
步骤1：分解被积函数
将被积函数拆分为两个单项式：
$\int (1 - 2x^4) dx = \int 1 \, dx - \int 2x^4 dx$
步骤2：积分常数项
对常数项 $1$ 积分：
$\int 1 \, dx = x + C_1$
步骤3：积分幂函数项
对 $-2x^4$ 积分：
- 提取常数 $-2$：
$\int 2x^4 dx = 2 \int x^4 dx$ - 应用幂函数积分法则：
$\int x^4 dx = \frac{x^{5}}{5} + C_2$ - 合并结果：
$2 \cdot \frac{x^5}{5} = \frac{2x^5}{5}$
步骤4：合并所有部分
将两部分结果相减并合并常数项：
$\int (1 - 2x^4) dx = x - \frac{2x^5}{5} + C$
（其中 $C = C_1 - C_2$ 是积分常数）