题目

1.17 二次型 f(x_(1),x_(2))=x_(1)^2-2x_(2)^2+4x_(1)x_(2)bigcirc y_(1)^2-2y_(2)^2bigcirc y_(1)^2+2y_(2)^2bigcirc y_(1)^2-6y_(2)^2bigcirc y_(1)^2+6y_(2)^2

1.17 二次型 $f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}+4x_{1}x_{2}$ $\bigcirc y_{1}^{2}-2y_{2}^{2}$ $\bigcirc y_{1}^{2}+2y_{2}^{2}$ $\bigcirc y_{1}^{2}-6y_{2}^{2}$ $\bigcirc y_{1}^{2}+6y_{2}^{2}$

题目解答

答案

将二次型 $ f(x_1, x_2) = x_1^2 - 2x_2^2 + 4x_1x_2 $ 配方： \[ f(x_1, x_2) = (x_1 + 2x_2)^2 - 4x_2^2 - 2x_2^2 = (x_1 + 2x_2)^2 - 6x_2^2 \] 令 $ y_1 = x_1 + 2x_2 $，$ y_2 = x_2 $，则二次型化为： \[ f(y_1, y_2) = y_1^2 - 6y_2^2 \] 因此，标准形为 $ y_1^2 - 6y_2^2 $，对应选项C。 \[ \boxed{C} \]

解析

考查要点：本题主要考查二次型的配方法，即将二次型通过变量替换转化为标准形。关键在于正确处理交叉项，将其转化为完全平方形式，并确定新变量的系数。

解题思路：

  1. 观察交叉项：二次型中的交叉项$4x_1x_2$提示需要将$x_1$和$x_2$组合成完全平方项。
  2. 配方操作：将$x_1^2 + 4x_1x_2$配成$(x_1 + 2x_2)^2$，并调整剩余项。
  3. 变量替换：通过令新变量$y_1 = x_1 + 2x_2$，$y_2 = x_2$，将原二次型化为仅含平方项的形式。

步骤1：配方处理

原二次型为：
$f(x_1, x_2) = x_1^2 - 2x_2^2 + 4x_1x_2$
将$x_1^2 + 4x_1x_2$配方：
$x_1^2 + 4x_1x_2 = (x_1 + 2x_2)^2 - 4x_2^2$
代入原式：
$f(x_1, x_2) = (x_1 + 2x_2)^2 - 4x_2^2 - 2x_2^2 = (x_1 + 2x_2)^2 - 6x_2^2$

步骤2：变量替换

令：
$y_1 = x_1 + 2x_2, \quad y_2 = x_2$
则原二次型化为：
$f(y_1, y_2) = y_1^2 - 6y_2^2$

结论：标准形为$y_1^2 - 6y_2^2$，对应选项C。