题目
(int )_(-dfrac {pi )(2)}^dfrac (pi {2)}4(cos )^4theta dtheta =__________
__________
题目解答
答案
答案为：
由积分可以看出积分函数
为偶函数，
∴
，
而
∴
解析
步骤 1：确定积分函数的性质
积分函数${\cos }^{4}\theta $为偶函数，因为${\cos }^{4}(-\theta )={\cos }^{4}\theta $。
步骤 2：利用偶函数的性质简化积分
由于${\cos }^{4}\theta $是偶函数，所以${\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}4{\cos }^{4}\theta d\theta =2{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}4{\cos }^{4}\theta d\theta $。
步骤 3：计算简化后的积分
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}4{\cos }^{4}\theta d\theta =4\times \dfrac {3}{4}\dfrac {1}{2}\dfrac {\pi }{2}=\dfrac {3\pi }{4}$。
步骤 4：计算原积分
${\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}4{\cos }^{4}\theta d\theta =2{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}4{\cos }^{4}\theta d\theta =2\times \dfrac {3\pi }{4}=\dfrac {3\pi }{2}$。
积分函数${\cos }^{4}\theta $为偶函数，因为${\cos }^{4}(-\theta )={\cos }^{4}\theta $。
步骤 2：利用偶函数的性质简化积分
由于${\cos }^{4}\theta $是偶函数，所以${\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}4{\cos }^{4}\theta d\theta =2{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}4{\cos }^{4}\theta d\theta $。
步骤 3：计算简化后的积分
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}4{\cos }^{4}\theta d\theta =4\times \dfrac {3}{4}\dfrac {1}{2}\dfrac {\pi }{2}=\dfrac {3\pi }{4}$。
步骤 4：计算原积分
${\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}4{\cos }^{4}\theta d\theta =2{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}4{\cos }^{4}\theta d\theta =2\times \dfrac {3\pi }{4}=\dfrac {3\pi }{2}$。