题目
[题目]计算定积分 (int )_(-4)^4sqrt (16-{x)^2}dx= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数的几何意义
函数 $y=\sqrt{16-x^2}$ 描述的是一个半径为4的圆的上半部分，因为 $x^2+y^2=16$ 是一个半径为4的圆的方程，而 $y=\sqrt{16-x^2}$ 只取了圆的上半部分。
步骤 2：确定积分的几何意义
积分 ${\int }_{-4}^{4}\sqrt {16-{x}^{2}}dx$ 表示的是函数 $y=\sqrt{16-x^2}$ 在区间 $[-4, 4]$ 上的面积，即半径为4的圆的上半部分的面积。
步骤 3：计算面积
半径为4的圆的面积是 $\pi r^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi$。因为积分只计算了圆的上半部分，所以面积是圆面积的一半，即 $8\pi$。
函数 $y=\sqrt{16-x^2}$ 描述的是一个半径为4的圆的上半部分，因为 $x^2+y^2=16$ 是一个半径为4的圆的方程，而 $y=\sqrt{16-x^2}$ 只取了圆的上半部分。
步骤 2：确定积分的几何意义
积分 ${\int }_{-4}^{4}\sqrt {16-{x}^{2}}dx$ 表示的是函数 $y=\sqrt{16-x^2}$ 在区间 $[-4, 4]$ 上的面积，即半径为4的圆的上半部分的面积。
步骤 3：计算面积
半径为4的圆的面积是 $\pi r^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi$。因为积分只计算了圆的上半部分，所以面积是圆面积的一半，即 $8\pi$。