题目

19.已知矩阵方程AX=A+X，求矩阵X，其中A=(}2&2&02&1&30&1&0).

19.已知矩阵方程$AX=A+X$，求矩阵X，其中$A=\left(\begin{matrix}2&2&0\\2&1&3\\0&1&0\end{matrix}\right).$

题目解答

答案

将方程 $AX = A + X$ 变形为 $(A - I)X = A$，其中 $I$ 为单位矩阵。 计算 $A - I = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$，其行列式 $\det(A - I) = 1$，故可逆。 求得 $(A - I)^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 6 \\ 2 & -1 & -3 \\ 2 & -1 & -4 \end{pmatrix}$。 则 $X = (A - I)^{-1}A = \boxed{\begin{pmatrix} -2 & 2 & 6 \\ 2 & 0 & -3 \\ 2 & -1 & -3 \end{pmatrix}}$。

解析

考查要点：本题主要考查矩阵方程的求解方法，涉及矩阵的线性运算、逆矩阵的概念及应用。

解题核心思路：将原方程中的未知矩阵$X$项集中到方程一侧，构造出形如$(A - I)X = A$的结构，进而利用逆矩阵求解$X$。关键在于正确移项并提取$X$，以及验证矩阵$A - I$是否可逆。

破题关键点：

  1. 移项变形：将原方程$AX = A + X$转化为$(A - I)X = A$，其中$I$为单位矩阵。
  2. 可逆性判断：计算矩阵$A - I$的行列式，若行列式非零，则可逆。
  3. 逆矩阵应用：通过$X = (A - I)^{-1}A$直接求解。

步骤1：方程变形

原方程为$AX = A + X$，将右边的$X$移到左边：
$AX - X = A$
提取公共因子$X$，得：
$(A - I)X = A$
其中$I$为$3 \times 3$单位矩阵。

步骤2：构造矩阵$A - I$

计算$A - I$：
$A - I = \begin{pmatrix}2-1 & 2 & 0 \\2 & 1-1 & 3 \\0 & 1 & 0-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\2 & 0 & 3 \\0 & 1 & -1\end{pmatrix}$

步骤3：验证可逆性

计算行列式$\det(A - I)$：
$\det(A - I) = 1 \cdot (0 \cdot (-1) - 3 \cdot 1) - 2 \cdot (2 \cdot (-1) - 3 \cdot 0) + 0 \cdot (2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-2) + 0 = -3 + 4 = 1 \neq 0$
因此，$A - I$可逆。

步骤4：求逆矩阵$(A - I)^{-1}$

通过行变换或伴随矩阵法可求得：
$(A - I)^{-1} = \begin{pmatrix}-3 & 2 & 6 \\2 & -1 & -3 \\2 & -1 & -4\end{pmatrix}$

步骤5：求解$X$

根据公式$X = (A - I)^{-1}A$，进行矩阵乘法：
$X = \begin{pmatrix}-3 & 2 & 6 \\2 & -1 & -3 \\2 & -1 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 2 & 0 \\2 & 1 & 3 \\0 & 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 2 & 6 \\2 & 0 & -3 \\2 & -1 & -3\end{pmatrix}$