题目
求极限：lim _(xarrow 0)dfrac (4x)({e)^2x-1}=( )
求极限：
( )
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数形式
给定极限表达式为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {4x}{{e}^{2x}-1}$，这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，可以使用洛必达法则求解。
步骤 2：应用洛必达法则
洛必达法则指出，如果 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}$ 是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式，且 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$ 存在，则 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$。这里 $f(x)=4x$，$g(x)={e}^{2x}-1$，因此 $f'(x)=4$，$g'(x)=2{e}^{2x}$。
步骤 3：计算导数比的极限
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {4x}{{e}^{2x}-1}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {4}{2{e}^{2x}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2}{{e}^{2x}}$。当 $x\rightarrow 0$ 时，${e}^{2x}\rightarrow {e}^{0}=1$，因此 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2}{{e}^{2x}}=\dfrac {2}{1}=2$。
给定极限表达式为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {4x}{{e}^{2x}-1}$，这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，可以使用洛必达法则求解。
步骤 2：应用洛必达法则
洛必达法则指出，如果 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}$ 是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式，且 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$ 存在，则 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$。这里 $f(x)=4x$，$g(x)={e}^{2x}-1$，因此 $f'(x)=4$，$g'(x)=2{e}^{2x}$。
步骤 3：计算导数比的极限
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {4x}{{e}^{2x}-1}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {4}{2{e}^{2x}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2}{{e}^{2x}}$。当 $x\rightarrow 0$ 时，${e}^{2x}\rightarrow {e}^{0}=1$，因此 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2}{{e}^{2x}}=\dfrac {2}{1}=2$。