题目
33. (10.0分) 求由曲线y=sqrt(x),y=x^2围成的图形面积.
33. (10.0分) 求由曲线$y=\sqrt{x},y=x^{2}$围成的图形面积.
题目解答
答案
求曲线 $y = \sqrt{x}$ 和 $y = x^2$ 的交点，解方程 $\sqrt{x} = x^2$，得 $x = 0$ 或 $x = 1$，交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。
在区间 $[0,1]$ 上，$\sqrt{x} \geq x^2$，故面积为
\[
\int_{0}^{1} \left( \sqrt{x} - x^2 \right) \, dx = \int_{0}^{1} \left( x^{1/2} - x^2 \right) \, dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.
\]
**答案：** $\boxed{\frac{1}{3}}$
解析
步骤 1：求曲线交点
解方程 $\sqrt{x} = x^2$，得 $x = 0$ 或 $x = 1$，交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。
步骤 2：确定积分区间
在区间 $[0,1]$ 上，$\sqrt{x} \geq x^2$，故面积为 \[ \int_{0}^{1} \left( \sqrt{x} - x^2 \right) \, dx = \int_{0}^{1} \left( x^{1/2} - x^2 \right) \, dx. \]
步骤 3：计算积分
计算积分 \[ \int_{0}^{1} \left( x^{1/2} - x^2 \right) \, dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}. \]
解方程 $\sqrt{x} = x^2$，得 $x = 0$ 或 $x = 1$，交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。
步骤 2：确定积分区间
在区间 $[0,1]$ 上，$\sqrt{x} \geq x^2$，故面积为 \[ \int_{0}^{1} \left( \sqrt{x} - x^2 \right) \, dx = \int_{0}^{1} \left( x^{1/2} - x^2 \right) \, dx. \]
步骤 3：计算积分
计算积分 \[ \int_{0}^{1} \left( x^{1/2} - x^2 \right) \, dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}. \]