在平面四边形 ABCD 中，AB=AC=CD=1，∠ADC=30°，∠DAB=120°，将 △ACD 沿 AC 翻折至 △ACP，其中 P 为动点。（1）设 PC⊥AB，三棱锥 P-ABC 的各个顶点都在球 O 的球面上。（i）证明：平面 PAC⊥平面 ABC；（ii）求球O的半径（2）求二面角 A-CP-B的 余弦值的最小值。

题目考察知识和解题思路

本题主要考察立体几何中的面面垂直证明、外接球半径计算以及二面角余弦值最小值问题，涉及空间直角坐标系、向量法、几何性质等知识。

（1）（i）证明：平面$PAC \perp$平面$ABC$

关键分析

• 在$\triangle ACD$中，$AC=CD=1$，$\angle ADC=30^\circ$，故$\triangle ACD$为等腰三角形，$\angle CAD=30^\circ$。
• $\angle BAC = \angle DAB - \angle CAD = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$，即$AB \perp AC$。
• 已知$PC \perp AB$，且$PC \cap AC = C$（$PC,AC \subset$平面$PAC$），根据线面垂直判定定理，$AB \perp$平面$PAC$。
• 因$AB \subset$平面$ABC$，由面面垂直判定定理，平面$PAC \perp$平面$ABC$。

（1）（ii）求球$O$的半径

关键分析

• 以$A$为原点，$AB,AC$分别为$x,y$轴建立空间直角坐标系：$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(0,1,0)$。
• $\triangle ACP$由$\triangle ACD$翻折而来，$AC=1$，$\angle CAD=30^\circ$，故$P(0,\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$（$AG=\frac{3}{2}$，$PG=\frac{\sqrt{3}}{2}$）。
• 设球心$O(a,b,c)$，半径$R$，则$AO=BO=CO=PO=R$，列方程：
  $\begin{cases} a^2 + b^2 + c^2 = (a-1)^2 + b^2 + c^2 \\ a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + (b-1)^2 + c^2 \\ a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + (b-\frac{3}{2})^2 + (c-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 \end{cases}$
• 解得$a=\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{2}$，$c=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$R=\sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$。

（2）求二面角$A-CP-B$的余弦值最小值

关键分析

• 以$G$为原点，$GM,CG$为$x,y$轴建立坐标系：$G(0,0,0)$，$A(0,-\frac{3}{2},0)$，$B(1,-\frac{3}{2},0)$，$C(0,-\frac{1}{2},0)$，$P(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta,0,\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta)$（$\theta \in (0,180^\circ)$）。
• 平面$PAC$的法向量$\overrightarrow{m}=(\sin\theta,0,-\cos\theta)$（由$\overrightarrow{CA} \perp \overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{CP} \perp \overrightarrow{m}$解得）。
• 平面$PBC$的法向量$\overrightarrow{n}=(1,1,-\frac{\sqrt{3}\cos\theta + 1}{\sqrt{3}\sin\theta})$（由$\overrightarrow{CB} \perp \overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{CP} \perp \overrightarrow{n}$解得）。
• 二面角余弦值$\cos\langle \overrightarrow{m},\overrightarrow{n}\rangle = \frac{1}{\sqrt{-8(\frac{1}{t} - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 3}}$（$t=\cos\theta + \sqrt{3}$），当$\frac{1}{t}=\frac{\sqrt{3}}{2}$时，最小值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。