2、求微分方程y''-4y'+3y=e^x的通解.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查二阶线性非齐次微分方程的解法，包括齐次方程通解的求解和非齐次方程特解的构造方法。
解题思路：
- 齐次方程通解：通过求解特征方程确定齐次方程的通解形式。
- 非齐次特解：根据非齐次项的形式（此处为$e^x$），结合特征根是否重复，选择特解的构造形式（需乘以$x$），代入方程确定待定系数。
- 综合通解：将齐次通解与特解相加得到最终通解。
关键点：
- 特征方程的根：若非齐次项与齐次解重复，需调整特解形式。
- 待定系数法：通过代入方程解出特解中的未知系数。
步骤1：求解齐次方程的通解
齐次方程为：
$y'' - 4y' + 3y = 0$
特征方程：
$r^2 - 4r + 3 = 0$
因式分解得：
$(r-1)(r-3) = 0$
特征根为$r_1 = 1$，$r_2 = 3$，因此齐次方程的通解为：
$y_h = C_1 e^x + C_2 e^{3x}$
步骤2：求解非齐次方程的特解
非齐次项为$e^x$，由于$e^x$是齐次方程的解（对应特征根$r=1$），故特解形式设为：
$y_p = A x e^x$
计算导数：
$\begin{aligned}y_p' &= A e^x + A x e^x = A (1 + x) e^x, \\y_p'' &= A e^x + A (1 + x) e^x = A (2 + x) e^x.\end{aligned}$
代入原方程：
$A (2 + x) e^x - 4A (1 + x) e^x + 3A x e^x = e^x$
合并同类项：
$A \left[ (2 + x) - 4(1 + x) + 3x \right] e^x = e^x$
化简括号内：
$2 + x - 4 - 4x + 3x = -2$
得方程：
$-2A e^x = e^x \quad \Rightarrow \quad A = -\frac{1}{2}$
因此，特解为：
$y_p = -\frac{1}{2} x e^x$
步骤3：综合通解
非齐次方程的通解为齐次通解与特解之和：
$y = y_h + y_p = C_1 e^x + C_2 e^{3x} - \frac{1}{2} x e^x$