题目

设A=1 -1 0-|||-0 1 -1-|||--1 0 1-|||-__，AX=2X+A,求X.

设A= $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 &-1 \\ -1 &0 &1 \end{pmatrix}$ ，AX=2X+A,求X.

题目解答

答案

由AX=2X+A

得 $(A-2E)X=A$ ,

然后再等号左右两边同时左乘 $(A-2E)^{-1}$

即X= $(A-2E)^{-1}$ A

而A= $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 &-1 \\ -1 &0 &1 \end{pmatrix}$

所以A-2E= $\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0\\ 0 & -1 &-1 \\ -1 &0 &-1 \end{pmatrix}$

故(A-2E|E)= $\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0&1 & 0 & 0\\ 0 & -1 &-1 &0 & 1 & 0\\ -1 &0 &-1&0 & 0 &1 \end{pmatrix}$

$\xrightarrow[]{-r_1,-r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0&-1 & 0 & 0\\ 0 & 1 &1 &0 & -1 & 0\\ -1 &0 &-1&0 & 0 &1 \end{pmatrix}$ $\xrightarrow[]{r_3+r_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0&-1 & 0 & 0\\ 0 & 1 &1 &0 & -1 & 0\\ 0 &1 &-1&-1 & 0 &1 \end{pmatrix}$ $\xrightarrow[]{r_1-r_2,r_3-r_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1&-1 & 1 & 0\\ 0 & 1 &1 &0 & -1 & 0\\ 0 &0 &-2&-1 & 1 &1 \end{pmatrix}$ $\xrightarrow[]{-\frac{1}{2} r_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1&-1 & 1 & 0\\ 0 & 1 &1 &0 & -1 & 0\\ 0 &0 &1&\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} \end{pmatrix}$ $\xrightarrow[]{r_1+r_3,r_2-r_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0&-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ 0 & 1 &0 &-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ 0 &0 &1&\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

即 $(A-2E)^{-1}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} &-\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

故X= $(A-2E)^{-1}$ A

= $\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} &-\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 &-1 \\ -1 &0 &1 \end{pmatrix}$

= $\begin{pmatrix} 0 & 1 &-1 \\ 1 & 0 & -1\\ 1 &-1 &0 \end{pmatrix}$

解析

步骤 1：将给定的方程变形
给定方程为 AX = 2X + A，我们首先将方程变形为 (A - 2E)X = A，其中 E 是单位矩阵。

步骤 2：计算 A - 2E
根据给定的矩阵 A，计算 A - 2E，其中 2E 是将单位矩阵 E 的每个元素乘以 2。

步骤 3：求解 (A - 2E) 的逆矩阵
计算 (A - 2E) 的逆矩阵，记为 ${(A - 2E)}^{-1}$。

步骤 4：计算 X
将 (A - 2E) 的逆矩阵与 A 相乘，得到 X = ${(A - 2E)}^{-1}$A。