设随机变量X和Y相互独立，且都服从区间（0,1）上的均匀分布，则 PX^2+Y^2leq1=(）。A. (1)/(4)B. (1)/(2)C. (pi)/(8)D. (pi)/(4)

考查要点：本题主要考查几何概率的应用，以及二元独立均匀分布的理解。关键在于将概率问题转化为几何区域的面积计算。

解题核心思路：

1. 确定联合概率密度：由于$X$和$Y$独立且均服从$(0,1)$上的均匀分布，其联合概率密度在区域$[0,1] \times [0,1]$内为$1$。
2. 几何意义转化：事件$\{X^2 + Y^2 \leq 1\}$对应第一象限内单位圆的四分之一圆区域。
3. 计算面积比例：所求概率等于该区域的面积占整个样本空间面积的比例。

破题关键点：

• 明确$X$和$Y$的取值范围限制在$(0,1)$，因此满足条件的区域是四分之一单位圆。
• 单位圆的面积公式为$\pi r^2$，此处$r=1$，故四分之一圆面积为$\frac{\pi}{4}$。

步骤1：确定样本空间
$X$和$Y$均在$(0,1)$上独立均匀分布，样本空间为边长为1的正方形区域$[0,1] \times [0,1]$，面积为$1 \times 1 = 1$。

步骤2：确定目标区域
事件$\{X^2 + Y^2 \leq 1\}$表示点$(X,Y)$位于第一象限内的单位圆内。单位圆方程为$x^2 + y^2 = 1$，在第一象限的部分为四分之一圆，面积为$\frac{\pi \times 1^2}{4} = \frac{\pi}{4}$。

步骤3：计算概率
概率等于目标区域面积与样本空间面积的比值：
$P\{X^2 + Y^2 \leq 1\} = \frac{\text{四分之一圆面积}}{\text{正方形面积}} = \frac{\pi/4}{1} = \frac{\pi}{4}.$