题目
每次试验事件A发生的概率为(3)/(4)，X表示在10000次重复独立试验中事件A出现的次数，试用切比雪夫不等式估计得P{}0.74<(X)/(10000)<0.76geqslant( )。答案：0.8125
每次试验事件A发生的概率为$\frac{3}{4}$，X表示在10000次重复独立试验中事件A出现的次数，试用切比雪夫不等式估计得$P\left\{\begin{matrix}0.74<\frac{X}{10000}<0.76\end{matrix}\right\}\geqslant( )$。
答案：
0.8125
题目解答
答案
设 $ X $ 表示事件 $ A $ 在 10000 次试验中出现的次数，$ X $ 服从二项分布，参数为 $ n = 10000 $，$ p = \frac{3}{4} $。
期望 $ E(X) = np = 7500 $，方差 $ D(X) = np(1-p) = 1875 $。
将概率转换为：
\[
P\left\{0.74 < \frac{X}{10000} < 0.76\right\} = P\left\{|X - 7500| < 100\right\}
\]
应用切比雪夫不等式：
\[
P\left\{|X - E(X)| < \epsilon\right\} \geq 1 - \frac{D(X)}{\epsilon^2}
\]
代入 $ \epsilon = 100 $：
\[
P\left\{|X - 7500| < 100\right\} \geq 1 - \frac{1875}{10000} = 0.8125
\]
**答案：**
\[
\boxed{0.8125}
\]
解析
考查要点：本题主要考查切比雪夫不等式的应用，涉及二项分布的期望与方差计算，以及如何将实际概率问题转化为不等式的形式。
解题核心思路：
- 识别分布类型：明确题目中随机变量$X$服从二项分布，确定参数$n$和$p$。
- 计算期望与方差：利用二项分布的期望公式$E(X)=np$和方差公式$D(X)=np(1-p)$。
- 转化概率范围：将题目中的概率范围$\frac{X}{10000}$的区间转化为$|X - E(X)|$的形式，确定$\epsilon$的值。
- 应用切比雪夫不等式：代入公式$P\{|X - E(X)| < \epsilon\} \geq 1 - \frac{D(X)}{\epsilon^2}$，计算下界。
破题关键点：
- 正确计算期望与方差是基础。
- 准确转化不等式是关键，需将$\frac{X}{10000}$的范围转换为$X$的绝对偏差形式。
- 代入切比雪夫不等式时注意$\epsilon$的取值，确保计算无误。
步骤1：确定分布参数与计算期望、方差
- 随机变量$X$服从二项分布$B(n=10000, p=\frac{3}{4})$。
- 期望：$E(X) = np = 10000 \times \frac{3}{4} = 7500$。
- 方差：$D(X) = np(1-p) = 10000 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = 1875$。
步骤2：转化概率范围
题目要求$P\left\{0.74 < \frac{X}{10000} < 0.76\right\}$，等价于：
$P\left\{7400 < X < 7600\right\} = P\left\{|X - 7500| < 100\right\}.$
因此，$\epsilon = 100$。
步骤3：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式为：
$P\left\{|X - E(X)| < \epsilon\right\} \geq 1 - \frac{D(X)}{\epsilon^2}.$
代入$\epsilon = 100$和$D(X) = 1875$：
$P\left\{|X - 7500| < 100\right\} \geq 1 - \frac{1875}{100^2} = 1 - \frac{1875}{10000} = 0.8125.$