题目
1.单选题-|||-设 = (x,y):{x)^2+(y)^2leqslant 4 是圆形区域。用估值不-|||-等式估计积分时有 ()-|||-A .pi leqslant (iint )_(D)((x)^2+4(y)^2+9)dxdyleqslant 29pi -|||-B 60π≤ ∫∫__(x2 +4y^2+9)dxdy≤100π-|||-C 36π≤ (x^2+4y^2+9 )dxdy ≤100π-|||-D 18π≤ |(x^2+4y^2+9 )dxdy≤50π
题目解答
答案
A. $9\pi \leqslant {\iint }_{D}({x}^{2}+4{y}^{2}+9)dxdy\leqslant 29\pi $
解析
步骤 1：确定积分区域
$D=\{ (x,y):{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4\}$ 是一个圆形区域，圆心为(0,0)，半径为2。
步骤 2：确定被积函数的范围
在圆形区域 $D$ 内，$x^2+4y^2+9$ 的最小值为9（当 $x=0$，$y=0$ 时），最大值为29（当 $x=2$，$y=0$ 或 $x=0$，$y=2$ 时）。
步骤 3：应用估值不等式
根据估值不等式，有：
$$
\min_{(x,y)\in D}(x^2+4y^2+9)\cdot\text{Area}(D) \leqslant \iint_{D}(x^2+4y^2+9)dxdy \leqslant \max_{(x,y)\in D}(x^2+4y^2+9)\cdot\text{Area}(D)
$$
其中，$\text{Area}(D)$ 是圆形区域 $D$ 的面积，即 $\pi \cdot 2^2 = 4\pi$。
步骤 4：计算估值不等式的上下界
将最小值9和最大值29代入估值不等式，得到：
$$
9\cdot 4\pi \leqslant \iint_{D}(x^2+4y^2+9)dxdy \leqslant 29\cdot 4\pi
$$
即：
$$
36\pi \leqslant \iint_{D}(x^2+4y^2+9)dxdy \leqslant 116\pi
$$
$D=\{ (x,y):{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4\}$ 是一个圆形区域，圆心为(0,0)，半径为2。
步骤 2：确定被积函数的范围
在圆形区域 $D$ 内，$x^2+4y^2+9$ 的最小值为9（当 $x=0$，$y=0$ 时），最大值为29（当 $x=2$，$y=0$ 或 $x=0$，$y=2$ 时）。
步骤 3：应用估值不等式
根据估值不等式，有：
$$
\min_{(x,y)\in D}(x^2+4y^2+9)\cdot\text{Area}(D) \leqslant \iint_{D}(x^2+4y^2+9)dxdy \leqslant \max_{(x,y)\in D}(x^2+4y^2+9)\cdot\text{Area}(D)
$$
其中，$\text{Area}(D)$ 是圆形区域 $D$ 的面积，即 $\pi \cdot 2^2 = 4\pi$。
步骤 4：计算估值不等式的上下界
将最小值9和最大值29代入估值不等式，得到：
$$
9\cdot 4\pi \leqslant \iint_{D}(x^2+4y^2+9)dxdy \leqslant 29\cdot 4\pi
$$
即：
$$
36\pi \leqslant \iint_{D}(x^2+4y^2+9)dxdy \leqslant 116\pi
$$