求曲线 ) (x)^2+(y)^2+(z)^2-3x=0 2x-3y+5z-4=0 . 在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.-|||-,

步骤 1：求解曲线在点(1,1,1)处的切线方向
为了求解曲线在点(1,1,1)处的切线方向，我们需要计算曲线在该点处的偏导数。给定的曲线方程为：
$$
\left \{ \begin{matrix} {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-3x=0\\ 2x-3y+5z-4=0\end{matrix} \right.
$$
对上述方程组分别对x、y、z求偏导数，得到：
$$
\left \{ \begin{matrix} 2x+2y\dfrac {dy}{dx}+2z\dfrac {dz}{dx}-3=0\\ 2-3\dfrac {dy}{dx}+5\dfrac {dz}{dx}=0.\end{matrix} \right.
$$
步骤 2：求解偏导数方程组
将点(1,1,1)代入上述偏导数方程组，得到：
$$
\left \{ \begin{matrix} 2y\dfrac {dy}{dx}+2z\dfrac {dz}{dx}=-2x+3\\ 3\dfrac {dy}{dx}-5\dfrac {dz}{dx}=2.\end{matrix} \right.
$$
步骤 3：计算偏导数
解上述方程组，得到：
$$
\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {10x-4z-15}{2},\dfrac {dz}{dx}=\dfrac {6x+4y-9}{3}
$$
将点(1,1,1)代入上述偏导数表达式，得到：
$$
\dfrac {dy}{dx}{|}_{(1,1,1)}=\dfrac {9}{16},\dfrac {dz}{dx}{|}_{(1,1,1)}=-\dfrac {1}{16}
$$
步骤 4：求解切线方程
根据点(1,1,1)和切线方向，可以得到切线方程为：
$$
\dfrac {x-1}{1}=\dfrac {y-1}{\dfrac {9}{16}}=\dfrac {z-1}{-\dfrac {1}{16}}
$$
即：
$$
\dfrac {x-1}{16}=\dfrac {y-1}{9}=\dfrac {z-1}{-1}
$$
步骤 5：求解法平面方程
根据点(1,1,1)和切线方向，可以得到法平面方程为：
$$
(x-1)+\dfrac {9}{16}(y-1)-\dfrac {1}{16}(z-1)=0
$$
即：
$$
16x+9y-z-24=0
$$