题目
设f(x)的导数在 x=0 处连续,且 lim _(xarrow 0)dfrac (f'(x))(x)=3, 则 x=0 () .-|||-(A)是f(x)的极小值点-|||-(B)是f(x)的极大值点-|||-(C)不是f(x)的极值点,但(0,f(0))是曲线 y=f(x) 的拐点-|||-(D)不是f(x)的极值点,且(0,f(0))也不是曲线 y=f(x) 的拐点
题目解答
答案
答案见上
解析
步骤 1：分析导数的极限
已知 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f'(x)}{x}=3$，这意味着当 $x$ 接近 $0$ 时，$f'(x)$ 与 $x$ 的比值接近 $3$。因此，$f'(x)$ 在 $x=0$ 附近是正的，因为 $x$ 接近 $0$ 时，$x$ 可以是正数也可以是负数，但比值为正，说明 $f'(x)$ 与 $x$ 同号。
步骤 2：确定导数的符号
由于 $f'(x)$ 在 $x=0$ 附近是正的，这意味着 $f(x)$ 在 $x=0$ 附近是单调增加的。因此，$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点。
步骤 3：分析二阶导数
由于 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f'(x)}{x}=3$，可以推断出 $f''(0)$ 存在且为正。因此，$f(x)$ 在 $x=0$ 处是凹的，即 $(0,f(0))$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点。
已知 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f'(x)}{x}=3$，这意味着当 $x$ 接近 $0$ 时，$f'(x)$ 与 $x$ 的比值接近 $3$。因此，$f'(x)$ 在 $x=0$ 附近是正的，因为 $x$ 接近 $0$ 时，$x$ 可以是正数也可以是负数，但比值为正，说明 $f'(x)$ 与 $x$ 同号。
步骤 2：确定导数的符号
由于 $f'(x)$ 在 $x=0$ 附近是正的，这意味着 $f(x)$ 在 $x=0$ 附近是单调增加的。因此，$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点。
步骤 3：分析二阶导数
由于 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f'(x)}{x}=3$，可以推断出 $f''(0)$ 存在且为正。因此，$f(x)$ 在 $x=0$ 处是凹的，即 $(0,f(0))$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点。