13.求点 P(3,-1,2)) 到直线 ) x+y-z+1=0 2x-y+z-4=0 . 的距离.

考查要点：本题主要考查空间中点到直线的距离计算，涉及平面方程、方向向量、点到点距离公式等知识点。

解题核心思路：

1. 确定直线的方向向量：通过两平面方程的法向量叉乘得到。
2. 构造过点P且与直线垂直的平面：利用方向向量作为平面的法向量。
3. 联立方程求垂足坐标：将原直线方程与构造的平面方程联立，解出垂足点。
4. 计算点P与垂足点的距离：直接应用空间距离公式。

破题关键点：

• 方向向量的正确计算：确保叉乘结果无误。
• 平面方程的建立：方向向量作为法向量，代入点P坐标。
• 方程组求解：准确解出垂足点的坐标。

步骤1：求直线的方向向量

直线由两平面联立方程确定，方向向量为两平面法向量的叉乘：
平面1法向量 $\vec{n_1} = (1,1,-1)$，平面2法向量 $\vec{n_2} = (2,-1,1)$。
叉乘计算：
$\vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (0, -3, -3)$

步骤2：构造过点P的垂直平面

以方向向量 $\vec{s} = (0,-3,-3)$ 为法向量，过点 $P(3,-1,2)$ 的平面方程为：
$0(x-3) -3(y+1) -3(z-2) = 0 \implies y + z -1 = 0$

步骤3：联立方程求垂足

联立原直线方程与垂直平面方程：
$\begin{cases}x + y - z + 1 = 0 \\2x - y + z - 4 = 0 \\y + z - 1 = 0\end{cases}$
解得垂足点为 $(1, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2})$。

步骤4：计算点P到垂足的距离

应用距离公式：
$d = \sqrt{(3-1)^2 + \left(-1+\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(2-\dfrac{3}{2}\right)^2} = \dfrac{3}{2}\sqrt{2}$