设=(int )_(-dfrac {pi )(2)}^dfrac (pi {2)}dfrac (sin x)(1+{x)^2}(cos )^4xdx, =(int )_(-dfrac {pi )(2)}^dfrac (pi {2)}((sin )^3x+(cos )^4x)dx, =(int )_(-dfrac {pi )(2)}^dfrac (pi {2)}((x)^2(sin )^3x-(cos )^4x)dx,-|||-则有-|||-(A) lt Plt M (B) lt Plt N-|||-(C) lt Mlt P (D) lt Mlt N

考查要点：本题主要考查定积分的奇偶性性质及其应用，通过分析被积函数的奇偶性简化积分计算，进而比较积分值的大小。

解题核心思路：

1. 判断被积函数的奇偶性：利用对称区间积分的性质，奇函数在对称区间积分结果为0，偶函数积分可转化为两倍非负区间的积分。
2. 简化积分表达式：根据奇偶性拆分被积函数，快速确定积分值的正负或具体形式。
3. 比较积分值大小：结合奇偶性分析结果，直接比较各积分的符号和相对大小。

破题关键点：

• M的被积函数为奇函数，积分结果为0。
• N的被积函数中奇函数部分积分为0，偶函数部分积分结果为正。
• P的被积函数中奇函数部分积分为0，偶函数部分积分结果为负。

分析M的积分

被积函数为 $\dfrac{\sin x}{1+x^2} \cos^4 x$：

• $\sin x$ 是奇函数，$\cos^4 x$ 是偶函数，$1+x^2$ 是偶函数。
• 奇函数乘以偶函数仍为奇函数，再除以偶函数仍为奇函数。
• 因此，$M = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \text{奇函数} \, dx = 0$。

分析N的积分

被积函数为 $\sin^3 x + \cos^4 x$：

• $\sin^3 x$ 是奇函数，积分结果为0。
• $\cos^4 x$ 是偶函数，积分可转化为 $2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 x \, dx$。
• $\cos^4 x$ 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上恒正，故 $N > 0$。

分析P的积分

被积函数为 $x^2 \sin^3 x - \cos^4 x$：

• $x^2 \sin^3 x$ 是奇函数（偶函数乘奇函数），积分结果为0。
• $-\cos^4 x$ 是偶函数，积分可转化为 $-2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 x \, dx$。
• $\cos^4 x$ 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上恒正，故 $P < 0$。

比较大小

• $P < 0$，$M = 0$，$N > 0$，故 $P < M < N$。