下列正确的是J. y=sqrt(x^2) 和 y=|x| 是同一函数L. y^2=(a^x+a^-x)/(2) 是偶函数M. y=2^ln arcsin (1)/(x) 分解为 y=2^u, u=ln v, v=arcsin t, t=(1)/(x)N. y=(1)/(sqrt(2x-x^2)) 定义域是 (0,2)

我们逐项分析题目中的四个选项，判断其是否正确。

J. $ y = \sqrt{x^2} $ 和 $ y = |x| $ 是同一函数

分析：

• 函数 $ y = \sqrt{x^2} $：对任意实数 $ x $，$ x^2 \geq 0 $，所以 $ \sqrt{x^2} $ 有定义，且结果是 $ |x| $。
• 函数 $ y = |x| $：定义为
  $|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$
• 所以，$ \sqrt{x^2} = |x| $，两个函数表达式相同，定义域也都是全体实数。

✅ 结论：J 正确。

L. $ y^2 = \frac{a^x + a^{-x}}{2} $ 是偶函数

分析：

• 注意：这里说的是 $ y^2 $ 是偶函数，而不是 $ y $。
• 函数 $ f(x) = \frac{a^x + a^{-x}}{2} $ 是偶函数，因为：
  $f(-x) = \frac{a^{-x} + a^x}{2} = \frac{a^x + a^{-x}}{2} = f(x)$
• 所以 $ y^2 = f(x) $ 是偶函数。

✅ 结论：L 正确。

M. $ y = 2^{\ln \arcsin \frac{1}{x}} $ 分解为 $ y = 2^u $, $ u = \ln v $, $ v = \arcsin t $, $ t = \frac{1}{x} $

分析：

我们从外到内逐步分解原函数：

• $ y = 2^{\ln \arcsin \frac{1}{x}} $
• 令：
  • $ t = \frac{1}{x} $
  • $ v = \arcsin t $
  • $ u = \ln v $
  • $ y = 2^u $

这与题目中给出的分解方式完全一致。

✅ 结论：M 正确。

N. $ y = \frac{1}{\sqrt{2x - x^2}} $ 的定义域是 $ (0,2) $

分析：

• 首先，分母不能为 0，且根号下的表达式必须大于 0：
  $2x - x^2 > 0$
  解这个不等式：

  $x(2 - x) > 0$

  解得：
  $0 < x < 2$

• 所以，函数的定义域确实是 $ (0,2) $。

✅ 结论：N 正确。

最终结论：

四个选项 J、L、M、N 都是正确的。

答案：

$\boxed{\text{J、L、M、N 都正确}}$