题目
19.(填空题，3.0分)设α，β，γ是向量a的三个方向角，则sin^2alpha+sin^2beta+sin^2gamma=____.
19.(填空题，3.0分)
设α，β，γ是向量a的三个方向角，则$\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma=$____.
题目解答
答案
设向量 $\mathbf{a}$ 的方向角为 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$，则方向余弦满足 $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$。利用三角恒等式 $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$，得：
\[
\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = (1 - \cos^2 \alpha) + (1 - \cos^2 \beta) + (1 - \cos^2 \gamma) = 3 - (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) = 3 - 1 = 2
\]
答案：$\boxed{2}$
解析
步骤 1：方向余弦的性质
向量 $\mathbf{a}$ 的方向角为 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$，则方向余弦满足 $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$。
步骤 2：利用三角恒等式
利用三角恒等式 $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$，可以将 $\sin^2 \alpha$、$\sin^2 \beta$、$\sin^2 \gamma$ 表示为 $1 - \cos^2 \alpha$、$1 - \cos^2 \beta$、$1 - \cos^2 \gamma$。
步骤 3：计算 $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$
将 $\sin^2 \alpha$、$\sin^2 \beta$、$\sin^2 \gamma$ 的表达式代入，得： \[ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = (1 - \cos^2 \alpha) + (1 - \cos^2 \beta) + (1 - \cos^2 \gamma) = 3 - (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) = 3 - 1 = 2 \]
向量 $\mathbf{a}$ 的方向角为 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$，则方向余弦满足 $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$。
步骤 2：利用三角恒等式
利用三角恒等式 $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$，可以将 $\sin^2 \alpha$、$\sin^2 \beta$、$\sin^2 \gamma$ 表示为 $1 - \cos^2 \alpha$、$1 - \cos^2 \beta$、$1 - \cos^2 \gamma$。
步骤 3：计算 $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$
将 $\sin^2 \alpha$、$\sin^2 \beta$、$\sin^2 \gamma$ 的表达式代入，得： \[ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = (1 - \cos^2 \alpha) + (1 - \cos^2 \beta) + (1 - \cos^2 \gamma) = 3 - (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) = 3 - 1 = 2 \]