题目
三、填空题（共5题，10.0分）18.（填空题，2.0分）若函数z=xy^2在点（2，3）处沿l方向的变化最大，则方向导数(partial z)/(partial l)=____.第1空
三、填空题（共5题，10.0分）
18.（填空题，2.0分）
若函数$z=xy^{2}$在点（2，3）处沿l方向的变化最大，则方向导数$\frac{\partial z}{\partial l}$=____.
第1空
题目解答
答案
计算函数 $ z = xy^2 $ 的梯度：
\[
\nabla z = \left( y^2, 2xy \right)
\]
在点 $(2,3)$ 处求梯度：
\[
\nabla z \bigg|_{(2,3)} = (9, 12)
\]
梯度的模即为方向导数的最大值：
\[
$ \nabla z \bigg|_{(2,3)} $ = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15
\]
**答案：** $\boxed{15}$
解析
步骤 1：计算函数 $ z = xy^2 $ 的梯度
函数 $ z = xy^2 $ 的梯度为 \[ \nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right) = \left( y^2, 2xy \right) \]
步骤 2：在点 $(2,3)$ 处求梯度
将点 $(2,3)$ 代入梯度表达式中，得到 \[ \nabla z \bigg|_{(2,3)} = (3^2, 2 \cdot 2 \cdot 3) = (9, 12) \]
步骤 3：计算梯度的模
梯度的模即为方向导数的最大值，计算得到 \[ $ \nabla z \bigg|_{(2,3)} $ = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \]
函数 $ z = xy^2 $ 的梯度为 \[ \nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right) = \left( y^2, 2xy \right) \]
步骤 2：在点 $(2,3)$ 处求梯度
将点 $(2,3)$ 代入梯度表达式中，得到 \[ \nabla z \bigg|_{(2,3)} = (3^2, 2 \cdot 2 \cdot 3) = (9, 12) \]
步骤 3：计算梯度的模
梯度的模即为方向导数的最大值，计算得到 \[ $ \nabla z \bigg|_{(2,3)} $ = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \]