设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=}ke^-(3x+4y),&x >0,y >0 0,&(其他),则k=() A. 4B. 3C. 12D. 6

为了确定二维随机变量$(X, Y)$的概率密度函数$ f(x, y) = \begin{cases} ke^{-3x+4y}, & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $中的常数$ k $，我们需要确保概率密度函数在所有可能的$ x $和$ y $值上的积分等于1。这是概率密度函数的基本性质。 概率密度函数的积分可以表示为： \[ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dx \, dy = 1 \] 由于$ f(x, y) = 0 $对于$ x \leq 0 $或$ y \leq 0 $，积分简化为： \[ \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} ke^{-3x+4y} \, dx \, dy = 1 \] 我们可以将常数$ k $从积分中分离出来： \[ k \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-3x+4y} \, dx \, dy = 1 \] 接下来，我们可以将双重积分分为两个单积分： \[ k \left( \int_{0}^{\infty} e^{-3x} \, dx \right) \left( \int_{0}^{\infty} e^{4y} \, dy \right) = 1 \] 首先，我们计算积分$\int_{0}^{\infty} e^{-3x} \, dx$： \[ \int_{0}^{\infty} e^{-3x} \, dx = \left[ -\frac{1}{3} e^{-3x} \right]_{0}^{\infty} = -\frac{1}{3} \left( 0 - 1 \right) = \frac{1}{3} \] 接下来，我们计算积分$\int_{0}^{\infty} e^{4y} \, dy$： \[ \int_{0}^{\infty} e^{4y} \, dy = \left[ \frac{1}{4} e^{4y} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{4} \left( \infty - 1 \right) = \infty \] 由于$\int_{0}^{\infty} e^{4y} \, dy$发散，似乎存在误解。让我们重新评估问题。正确的密度函数应该是 $ f(x, y) = \begin{cases} ke^{-3x-4y}, & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $. 现在，我们计算积分$\int_{0}^{\infty} e^{-4y} \, dy$: \[ \int_{0}^{\infty} e^{-4y} \, dy = \left[ -\frac{1}{4} e^{-4y} \right]_{0}^{\infty} = -\frac{1}{4} \left( 0 - 1 \right) = \frac{1}{4} \] 现在，我们可以将两个积分的结果相乘： \[ k \left( \frac{1}{3} \right) \left( \frac{1}{4} \right) = 1 \] 简化左侧，我们得到： \[ k \cdot \frac{1}{12} = 1 \] 解出$ k $，我们得到： \[ k = 12 \] 因此，$ k $的值是$\boxed{12}$。