求曲面 z = x^2 + y^2 及曲面 z = 4 - x^2 - y^2 围成的立体的体积。

我们要求由两个曲面围成的立体的体积： - 曲面1：$ z = x^2 + y^2 $（开口向上的抛物面） - 曲面2：$ z = 4 - x^2 - y^2 $（开口向下的抛物面） --- ### 第一步：找出交线 我们先求出两个曲面的交线，即令它们的 $ z $ 值相等： $$ x^2 + y^2 = 4 - x^2 - y^2 $$ 将右边的项移到左边： $$ x^2 + y^2 + x^2 + y^2 = 4 \Rightarrow 2x^2 + 2y^2 = 4 \Rightarrow x^2 + y^2 = 2 $$ 所以，两个曲面在 $ x^2 + y^2 = 2 $ 的圆上相交，交线是一个水平圆，位于高度 $ z = 2 $。 --- ### 第二步：确定积分区域 从交线可以看出，两个曲面围成的立体是在圆 $ x^2 + y^2 \leq 2 $ 上，由下曲面 $ z = x^2 + y^2 $ 到上曲面 $ z = 4 - x^2 - y^2 $ 之间的区域。 因此，体积可以表示为： $$ V = \iint_{x^2 + y^2 \leq 2} \left[ (4 - x^2 - y^2) - (x^2 + y^2) \right] \, dA $$ 化简被积函数： $$ (4 - x^2 - y^2) - (x^2 + y^2) = 4 - 2x^2 - 2y^2 $$ 所以体积为： $$ V = \iint_{x^2 + y^2 \leq 2} (4 - 2x^2 - 2y^2) \, dA $$ --- ### 第三步：使用极坐标变换 令： $$ x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta $$ 积分区域变为： $$ 0 \leq r \leq \sqrt{2},\quad 0 \leq \theta \leq 2\pi $$ 被积函数变为： $$ 4 - 2x^2 - 2y^2 = 4 - 2r^2 $$ 所以体积为： $$ V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{2}} (4 - 2r^2) \cdot r \, dr\,d\theta $$ --- ### 第四步：计算积分 先计算内层积分： $$ \int_0^{\sqrt{2}} (4r - 2r^3) \, dr = \left[ 2r^2 - \frac{1}{2}r^4 \right]_0^{\sqrt{2}} = 2(\sqrt{2})^2 - \frac{1}{2}(\sqrt{2})^4 = 2 \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 4 = 4 - 2 = 2 $$ 再计算外层积分： $$ \int_0^{2\pi} 2 \, d\theta = 2 \cdot 2\pi = 4\pi $$ --- ### 最终答案： $$ \boxed{4\pi} $$ 这就是由两个曲面围成的立体的体积。