题目
若函数 (ln x)/(x) 为 f(x) 的一个原函数,则不定积分 int xf'(x)dx =____:A. (1-ln x)/(x)+CB. (1+2ln x)/(x)+CC. (1-2ln x)/(x)+CD. (1+ln x)/(x)+C
若函数 $\frac{\ln x}{x}$ 为 $f(x)$ 的一个原函数,则不定积分 $\int xf'(x)dx$ =$____$:
A. $\frac{1-\ln x}{x}+C$
B. $\frac{1+2\ln x}{x}+C$
C. $\frac{1-2\ln x}{x}+C$
D. $\frac{1+\ln x}{x}+C$
题目解答
答案
C. $\frac{1-2\ln x}{x}+C$
解析
步骤 1：确定 $f(x)$ 的表达式
已知 $\frac{\ln x}{x}$ 是 $f(x)$ 的原函数，即 $f(x) = \left( \frac{\ln x}{x} \right)' = \frac{1 - \ln x}{x^2}$。
步骤 2：应用分部积分公式
利用分部积分公式 $\int u dv = uv - \int v du$，设 $u = x$，$dv = f'(x)dx$，则： \[ \int xf'(x)dx = xf(x) - \int f(x)dx \]
步骤 3：计算不定积分
代入 $f(x)$ 的表达式，计算不定积分： \[ \int xf'(x)dx = x \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2} - \frac{\ln x}{x} + C = \frac{1 - \ln x}{x} - \frac{\ln x}{x} + C = \frac{1 - 2\ln x}{x} + C \]
已知 $\frac{\ln x}{x}$ 是 $f(x)$ 的原函数，即 $f(x) = \left( \frac{\ln x}{x} \right)' = \frac{1 - \ln x}{x^2}$。
步骤 2：应用分部积分公式
利用分部积分公式 $\int u dv = uv - \int v du$，设 $u = x$，$dv = f'(x)dx$，则： \[ \int xf'(x)dx = xf(x) - \int f(x)dx \]
步骤 3：计算不定积分
代入 $f(x)$ 的表达式，计算不定积分： \[ \int xf'(x)dx = x \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2} - \frac{\ln x}{x} + C = \frac{1 - \ln x}{x} - \frac{\ln x}{x} + C = \frac{1 - 2\ln x}{x} + C \]