题目
设f(x)是周期为2pi的周期函数，且 [ f(x)= } -x, & -(pi)/(2) leq x leq (pi)/(2) x, & -pi leq x < -(pi)/(2) ( 或 ) (pi)/(2) < x < pi , ] S(x)为f(x)的傅里叶级数在[-pi,pi)上的和函数，则不正确的是 (） A. s(x)= } x, & -pi < x < -(pi)/(2) ( 或 ) (pi)/(2) < x < pi -x, & -(pi)/(2) leq x leq (pi)/(2) 0, & x = -pi, B. s(x)= } x, & -pi < x < -(pi)/(2) ( 或 ) (pi)/(2) < x < pi -x, & -(pi)/(2) < x < (pi)/(2) 0, & x = -pi, pm (pi)/(2) C. s= 0D. s((1)/(3))= -(1)/(3)
设$f(x)$是周期为$2\pi$的周期函数，且
$f(x)= \begin{cases} -x, & -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ x, & -\pi \leq x < -\frac{\pi}{2} \text{ 或 } \frac{\pi}{2} < x < \pi \end{cases},$
$S(x)$为$f(x)$的傅里叶级数在$[-\pi,\pi)$上的和函数，则不正确的是 (）
- A. $s(x)= \begin{cases} x, & -\pi < x < -\frac{\pi}{2} \text{ 或 } \frac{\pi}{2} < x < \pi \\ -x, & -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ 0, & x = -\pi, \end{cases}$
- B. $s(x)= \begin{cases} x, & -\pi < x < -\frac{\pi}{2} \text{ 或 } \frac{\pi}{2} < x < \pi \\ -x, & -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \\ 0, & x = -\pi, \pm \frac{\pi}{2} \end{cases}$
- C. $s= 0$
- D. $s\left(\frac{1}{3}\right)= -\frac{1}{3}$
题目解答
答案
函数 $f(x)$ 在 $[- \pi, \pi)$ 上定义为：
\[
f(x) =
\begin{cases}
-x & \text{若 } -\pi \le x \le \frac{\pi}{2}, \\
x & \text{若 } \frac{\pi}{2} < x < \pi.
\end{cases}
\]
傅里叶级数和函数 $S(x)$ 在连续点等于 $f(x)$，在间断点等于左右极限平均值。
- 对于 $-\pi < x < -\frac{\pi}{2}$，$S(x) = x$；
- 对于 $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$，$S(x) = -x$；
- 对于 $\frac{\pi}{2} < x < \pi$，$S(x) = x$；
- 在 $x = -\pi$ 处，$S(-\pi) = f(\pi) = \pi$（周期性）。
选项分析：
A. $S(-\pi) = 0$ 错误，应为 $\pi$；
B. $S(x) = x$ 对于 $-\pi < x < -\frac{\pi}{2}$，但 $S(x) = -x$ 对于 $- \pi < x < \frac{\pi}{2}$ 错误；
C. $S(2022\pi) = S(0) = 0$ 正确；
D. $S\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{3}$ 正确。
**答案：** $\boxed{B}$